Question

如圖，已知C是線段AB上的一個動點（不與端點重合），分別以AC、BC為斜邊并且在AB的同一側(cè)作等腰直角△ACD和△BCE，連接AE交CD于M，連接BD交CE于N．給出以下三個結(jié)論：①MN∥AB；②=+；③MN=AB．其中正確結(jié)論的個數(shù)是（ ）

A．0
B．1
C．2
D．3

Answer 1

【答案】分析：（1）用平行線分線段成比例定理；
（2）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，化簡分式可得；
（3）要利用二次函數(shù)最值即可求解．
解答：解：（1）∵CD∥BE，
∴△CND∽△ENB，∴=①
∵CE∥AD，
∴△AMD∽△EMC，∴=②
∵等腰直角△ACD和△BCE，
∴CD=AD，BE=CE，
∴=
∴MN∥AB，故本小題正確；

（2）∵CD∥BE，
∴△CND∽△ENB，
∴=，
設==k，
則CN=kNE，DN=kNB，
∵MN∥AB，
∴===，==，
∴+=1，
∴=+，故本小題正確；

（3）∵=+，
∴MN==，
設AB=a（常數(shù)），AC=x，則MN=x（a-x）=-（x-a）²+a≤a，故本小題錯誤．
故選C．
點評：本題考查的是相似三角形的判定與性質(zhì)及直角三角形的性質(zhì)，平行線分線段成比例定理、比例變形及二次函數(shù)的應用．