Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A(,0),AB⊥軸,且AB=10,點(diǎn)C（0，b）,,b滿足.點(diǎn)P（t,0）是線段AO上一點(diǎn)（不包含A,O）

（1）當(dāng)t=5時(shí)，求PB：PC的值；

（2）當(dāng)PC+PB最小時(shí)，求t的值;

（3）請(qǐng)根據(jù)以上的啟發(fā)，解決如下問題:正數(shù)m,n滿足m+n=10,且正數(shù)=，則正數(shù)的最小值=________.

Answer 1

【答案】（1）的值為；（2）當(dāng)最小時(shí)，t的值為15；（3）．

【解析】

（1）先根據(jù)二次根式的被開方數(shù)的非負(fù)性求出a、b的值，從而可得OA、OC的長(zhǎng)，再利用勾股定理分別求出PB、PC的長(zhǎng)，從而可得出答案；

（2）如圖（見解析），作點(diǎn)B關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)，從而可得的長(zhǎng)，再根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短確認(rèn)最小時(shí)點(diǎn)P的位置，然后根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求解即可得；

（3）先根據(jù)題（1）得出的式子，可發(fā)現(xiàn)與所求的的形式完全一樣，因此，參照題（2）的方法，畫出圖形，利用幾何方法求解即可（與題（2）的思路完全相同）．

，解得

將代入得，

（1）當(dāng)時(shí)，則

軸

故的值為；

（2）如圖1，作點(diǎn)B關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)D，連接，交x軸于點(diǎn)

由軸對(duì)稱的性質(zhì)得：

由兩點(diǎn)之間線段最短得：當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)重合時(shí)，最小，最小值為

是等腰直角三角形，

是等腰直角三角形，

故當(dāng)最小時(shí)，t的值為15；

（3）由（1）知，

因此，對(duì)于可參照（2）的方法，畫出如圖2，其中，點(diǎn)B與點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱，軸，

則

由（2）可知，的最小值為

即的最小值為

故答案為：．