Question

（2012•湖北模擬）如圖，正方形ABCO的邊長為4，D為OC邊的中點，將△DCB沿直線BD對折，C點落在M處，連接BM并延長交OA于點E，OA，OC分別在x軸和y軸的正半軸上．
（1）求線段OE的長；
（2）求經過D，E兩點，對稱軸為直線x=2的拋物線的解析式；
（3）在（2）中拋物線上的對稱軸上是否存在點P，使以P、E、D、B為頂點的四邊形是梯形？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）首先利用已知得出Rt△DOE≌Rt△DME，進而利用Rt△CBD∽Rt△ODE得出EO的長即可；
（2）利用對稱軸是直線x=2，以及E，D坐標，代入解析式求出即可；
（3）①如圖2，當PE∥BD，PE≠BD時，四邊形PEDB是梯形；②當PD∥BE，PD≠BE時，四邊形PDEB為梯形；③當PB∥DE，PB≠DE時，四邊形PDEB為梯形，分別求出P點坐標即可．

解答：（1）解：連接BD，
∵四邊形ABCO為正方形，D為OC的中點，
∴OA=AB=BC=CO=4，OD=DC=2，∠BCO=COA=∠OAB=90°
∵△BCD與△BMD關于BD對稱，
∴△BCD≌△BMD，
∴∠DMB=∠BCD=90°，DM=DC=DO=2，∠CDB=∠MDB，
在Rt△DOE和Rt△DME中
∵

DM=DO DE=DE

，
∴Rt△DOE≌Rt△DME，
∴∠ODE=∠MDE，
∴∠ODE+∠CBD=180°÷2=90°，
而∠BCD+∠CBD=90°，
∴∠ODE=∠CBD，
∴Rt△CBD∽Rt△ODE，
∴

OE

OD

=

CD

CB

=

1

2

，
∴OE=

1

2

OD=1．

（2）由（1）知，D（0，2），E（1，0），
設過D，E兩點，對稱軸為直線x=2的拋物線的解析式為：y=ax²+bx+c，得

c=2 a+b+c=0 b=2×(-2a)

解得

a= 2 3 b=- 8 3 c=2

，
故y=

2

3

x2-

8

3

x+2；

（3）存在點P，使以P、E、D、B為頂點的四邊形是梯形，分三種情況討論：
①如圖2，當PE∥BD，PE≠BD時，四邊形PEDB是梯形．
設直線PE交y軸于點F，
易證Rt△DEO∽Rt△EOF，
可得OF=

1

2

，
則F（0，-

1

2

）
過E，F(xiàn)兩點，用待定系數(shù)法可求直線PE 的解析式為：y=

1

2

x-

1

2

，
當x=2時，y=

1

2

，此時P點的坐標為（2，

1

2

），
②如圖3，當PD∥BE，PD≠BE時，四邊形PDEB為梯形．
設直線PD交x軸于點G．
∵PD∥DE，
∴∠GDE=∠DEB，
∵∠DEG=∠DEB，
∴∠GDE=∠DEG，
∴GD=GE，
設OG=m，在Rt△DGO中，OG²+OD²=DG²，OD=2，OE=1，
易求m=

3

2

，
則G（-

3

2

，0），
過D，G兩點用待定系數(shù)法可求直線PD 的解析式為：y=

4

3

x+2，
當x=2時，y=

14

3

，此時點P的坐標是（2，

14

3

）；
③如圖4，當PB∥DE，PB≠DE時，四邊形PDEB為梯形．
設直線PB交x軸于點H，
∵PB∥DE，
∴∠DEB=∠EBH，∠DEO=∠BH0，
∵∠DEO=∠DEB，
∴∠EBH=∠EHB，
∴EB=EH，
在Rt△ABE中，AE=AO-OE=4-1=3，AB=4，
∴BE=5=EH，
∴OH=OE+EH=1+5=6，
∴H（6，0），
過B，H兩點用待定系數(shù)法可求直線PB的解析式為：y=-2x+12，
當x=2時，y=8，此時點P的坐標是（2，8）．
綜上所述，符合條件的點P有三個，其坐標分別為（2，

1

2

），（2，

14

3

），（2，8）．

點評：此題主要考查了二次函數(shù)的綜合應用以及待定系數(shù)法求一次、二次函數(shù)解析式、相似三角形的判定與性質和梯形的性質等知識，利用分類討論數(shù)形結合得出是解題關鍵．