Question

（2012•湖北模擬）如圖，一次函數(shù)y=mx+5的圖象與反比例函數(shù)y=

k

x

(k≠0)在第一象限的圖象交于點(diǎn)A（1，n）和點(diǎn)B（4，1）．
（1）求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式；
（2）在直線(xiàn)x=-1上確定一點(diǎn)P，使PA+PB的值最小，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）由反比例函數(shù)y=

k

x

（k≠0）過(guò)點(diǎn)B（4，1），可求得反比例函數(shù)的解析式，則可求得點(diǎn)A的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法即可求得一次函數(shù)的解析式；
（2）首先過(guò)點(diǎn)A作關(guān)于直線(xiàn)x=-1的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A′，連接A′B交直線(xiàn)x=-1于點(diǎn)P，P點(diǎn)為使PA+PB的值最小的點(diǎn)．由對(duì)稱(chēng)性可求得點(diǎn)A′的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法即可求得直線(xiàn)A′P的解析式，則可求得點(diǎn)P的坐標(biāo)．

解答：解：（1）∵反比例函數(shù)y=

k

x

（k≠0）過(guò)點(diǎn)B（4，1），
∴k=4×1=4，
∴反比例函數(shù)的解析式為：y=

4

x

，
當(dāng)x=1時(shí)，y=4，
∴A（1，4），
∴

m+b=4 4m+b=1

，
∴

m=-1 b=5

，
∴一次函數(shù)的解析式為：y=-x+5；

（2）過(guò)點(diǎn)A作關(guān)于直線(xiàn)x=-1的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A′，連接A′B交直線(xiàn)x=-1于點(diǎn)P，則P點(diǎn)為使PA+PB的值最小的點(diǎn)．
由對(duì)稱(chēng)性可知A′（-3，4），
設(shè)直線(xiàn)A′B的解析式為：y=kx+b，
則

-3k+b=4 4k+b=1

，
解得：

k=- 3 7 b= 19 7

，
則直線(xiàn)A′B的解析式為：y=-

3

7

x+

19

7

，
當(dāng)x=-1時(shí)，y=

22

7

，
故點(diǎn)P的坐標(biāo)是（-1，

22

7

）．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)交點(diǎn)問(wèn)題、待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式以及最短路徑問(wèn)題．此題難度較大，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應(yīng)用．