Question

已知兩圓的半徑分別為5和12．當(dāng)它們相切時，圓心距為

7或17

；當(dāng)圓心距等于13時，公共弦長為

120

13

．

Answer 1

分析：分兩種情況考慮：當(dāng)兩圓內(nèi)切時，圓心距等于兩半徑相減；當(dāng)兩圓外切時，圓心距等于兩半徑相加，根據(jù)已知的兩半徑即可求出相應(yīng)的圓心距；當(dāng)兩圓圓心距等于13時，根據(jù)13大于兩半徑之差，小于兩半徑之和，判斷得到兩圓相交，畫出相應(yīng)的圖形，連接AE，BE，AF，BF，由AE=BE，AF=BF，根據(jù)線段垂直平分線的逆定理得到EF垂直平分AB，又AE=5，AF=12，EF=13，利用勾股定理的逆定理得到三角形AEF為直角三角形，利用面積法求出斜邊EF邊上的高AC的長，由AB=2AC即可得出公共弦AB的長．

解答：解：由兩圓的半徑分別為5和12，
當(dāng)兩圓內(nèi)切時，圓心距d=12-5=7；
當(dāng)兩圓外切時，圓心距d=5+12=17，
當(dāng)圓心距d=13時，∵12-5＜d＜12+5，
∴此時兩圓相交，畫出相應(yīng)的圖形，如圖所示：

連接AE，AF，BE，BF，
則有AE=5，AF=12，即AE²+AF²=25+144=169，
又∵EF=13，即EF²=169，
∴AE²+AF²=EF²，
∴△AEF為直角三角形，
又AE=BE，AF=BF，
∴EF垂直平分AB，即AC⊥EF，AC=BC=

1

2

AB，
∵S_△AEF=

1

2

AE•AF=

1

2

EF•AC，
∴AC=

AE•AF

EF

=

60

13

，
則AB=2AC=

120

13

．
故答案為：7或17；

120

13

點評：此題考查了相切兩圓的性質(zhì)，以及相交兩圓的性質(zhì)，兩圓的位置關(guān)系可以由d，R，r的大小關(guān)系來判斷，當(dāng)d＜R-r時，兩圓內(nèi)含；當(dāng)d=R-r時，兩圓內(nèi)切；當(dāng)R-r＜d＜R+r時，兩圓相交；當(dāng)d=R+r時，兩圓外切；當(dāng)d＞R+r時，兩圓外離，兩圓相交時，圓心距垂直平分兩圓的公共弦．