Question

如圖，點(diǎn)P是雙曲線上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作x軸、y軸的垂線，分別交x軸、y軸于A、B兩點(diǎn)，交雙曲線y= （0＜k₂＜|k₁|）于E、F兩點(diǎn)．

（1）圖1中，四邊形PEOF的面積S₁=　　　 (用含k₁、k₂的式子表示)；

（2）圖2中，設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（－4，3）．

①判斷EF與AB的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；

②記，S₂是否有最小值？若有，求出其最小值；若沒有，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

解：（1）；                        

（2）①EF∥AB．                   

證明：如圖，

由題意可得A（4，0），B（0，3），， ．

∴PA=3，PE=，PB=4，PF=．

∴，

∴．       

又∵∠APB=∠EPF．

∴△APB ∽△EPF，∴∠PAB=∠PEF．

∴EF∥AB．     

②S₂沒有最小值，理由如下：

過E作EM⊥y軸于點(diǎn)M，過F作FN⊥x軸于點(diǎn)N，兩線交于點(diǎn)Q．

由上知M（0，），N（，0），Q（，）．   

而S_△EFQ= S_△PEF，

∴S₂＝S_△PEF－S_△OEF＝S_△EFQ－S_△OEF＝S_△EOM＋S_△FON＋S_矩形OMQN

＝

＝

=．                      

當(dāng)時(shí)，S₂的值隨k₂的增大而增大，而0＜k₂＜12．  

∴0＜S₂＜24，s₂沒有最小值．