Question

在直角坐標系xOy中，二次函數(shù)y=的圖象與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，其中點A在點B的左邊，若
∠ACB=90°，
（1）求點C的坐標及這個二次函數(shù)的解析式．
（2）試設計兩種方案：作一條與y軸不重合、與△ABC的兩邊相交的直線，使截得的三角形與△ABC相似，并且面積是△AOC面積的四分之一．求所截得的三角形三個頂點的坐標（說明：不要求證明）．

Answer 1

解：（1）在y=中，令x=0，則y=2-m，
則C的坐標是（0，2-m），則OC=m-2．
∵∠ACB=90°，
∴OC²=OA•OB，
設A、B的橫坐標分別是x₁，x₂，則OA=-x₁，OB=x₂．
則x₁•x₂==4-2m，
∴OC²=OA•OB=2m-4．
則（m-2）2=2m-4，解得：m=2（舍去）或4．
故m=4．則OC=4-2=2，
則C的坐標是（0，-2），
∵，即===1，
∴AO=2CO=4，
則A的坐標是：（-4，0），
把（-4，0）以及m=4代入方程即可得到：8-3n-2=0，解得：n=2，
則二次函數(shù)的解析式是：y=x²+x-2；
（2）直角△OAC中，OA=OC=2，則當直線經(jīng)過OA的中點，平行于OC時，使截得的三角形與△ABC相似，并且面積是△AOC面積的四分之一，則三個頂點的坐標是（-2，0）（-1，0），（-1，-1）；
直角△OAC中，OA=OC=2，則當直線經(jīng)過OA的中點，平行于OA時，使截得的三角形與△ABC相似，并且面積是△AOC面積的四分之一，則三個頂點的坐標是（0，-2），（0，-1），（-1，-1）．
分析：（1）根據(jù)∠ACB=90°，以及OC⊥AB，則可以得到OC²=OA•OB，根據(jù)根與系數(shù)的關系即可得到關于m的方程，求得m的值，然后依據(jù)，利用OC²=OA•OB，即可求得OA的長度，從而求得A的坐標，代入解析式即可求得n的值，從而求得函數(shù)的解析式；
（2）經(jīng)過OA或OC的中點，作△AOC的中位線，截得的三角形與△AOC以及△ABC一定相似，且面積是△AOC面積的四分之一，即可寫出頂點的坐標．（答案不唯一）
點評：本題考查了根與系數(shù)的關系，以及相似三角形的判定與性質，正確求得m的值是關鍵．