【題目】如圖,已知在Rt△ABC中,∠ACB = 90o,AC =6,BC = 8,點(diǎn)F在線段AB上,以點(diǎn)B為圓心,BF為半徑的圓交BC于點(diǎn)E,射線AE交圓B于點(diǎn)D(點(diǎn)D、E不重合).
(1)如果設(shè)BF = x,EF = y,求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式,并寫出它的定義域;
(2)如果,求ED的長;
(3)聯(lián)結(jié)CD、BD,請判斷四邊形ABDC是否為直角梯形?說明理由.
【答案】(1)(0<x<8);(2)ED=;(3)四邊形ABDC不可能為直角梯形.
【解析】試題分析:(1)在Rt△ABC中由勾股定理得到AB=10.過E作EH⊥AB,垂足是H,易得:EH= ,BH= ,FH= .在Rt△EHF中,由勾股定理即可得到結(jié)論;
(2)取弧ED的中點(diǎn)P,聯(lián)結(jié)BP交ED于點(diǎn)G.由 ,P是弧ED的中點(diǎn),得到弧EP=弧EF=弧PD,進(jìn)而得到∠FBE =∠EBP =∠PBD.由垂徑定理得BG⊥ED,ED =2EG =2DG.易證△BEH≌△BEG,得到EH=EG=GD= .解Rt△CEA得到CE,BE的長,從而得到結(jié)論.
(3)四邊形ABDC不可能為直角梯形.分兩種情況討論:①當(dāng)CD∥AB時(shí),如果四邊形ABDC是直角梯形,只可能∠ABD =∠CDB = 90o.由,即可得到結(jié)論.
②當(dāng)AC∥BD時(shí),如果四邊形ABDC是直角梯形,只可能∠ACD =∠CDB = 90o.由∠ABD> 90o.即可得到結(jié)論.
試題解析:解:(1)在Rt△ABC中,AC=6,BC=8,∠ACB=90°,∴AB=10.
過E作EH⊥AB,垂足是H,易得:EH= ,BH= ,FH= .
在Rt△EHF中, ,∴(0<x<8).
(2)取弧ED的中點(diǎn)P,聯(lián)結(jié)BP交ED于點(diǎn)G.
∵ ,P是弧ED的中點(diǎn),∴弧EP=弧EF=弧PD,∴∠FBE =∠EBP =∠PBD.
∵弧EP=弧EF ,BP過圓心,∴BG⊥ED,ED =2EG =2DG.
又∵∠CEA =∠DEB,∴∠CAE=∠EBP=∠ABC.
又∵BE是公共邊,∴△BEH≌△BEG,∴EH=EG=GD= .
在Rt△CEA中,∵AC = 6,BC=8,tan∠CAE=tan∠ABC=,∴CE=ACtan∠CAE==,∴BE==,∴ED=2EG= ==.
(3)四邊形ABDC不可能為直角梯形.
①當(dāng)CD∥AB時(shí),如果四邊形ABDC是直角梯形,只可能∠ABD =∠CDB = 90o.
在Rt△CBD中,∵BC=8,∴CDcos∠BCD=,BD=BCsin∠BCD= =BE,∴, ,∴,∴CD不平行于AB,與CD∥AB矛盾,∴四邊形ABDC不可能為直角梯形.
②當(dāng)AC∥BD時(shí),如果四邊形ABDC是直角梯形,只可能∠ACD =∠CDB = 90o.
∵AC∥BD,∠ACB = 90o,∴∠ACB =∠CBD = 90o,∴∠ABD =∠ACB +∠BCD > 90o.
與∠ACD =∠CDB = 90o矛盾.
∴四邊形ABDC不可能為直角梯形.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,∠BAC=90°,BE平分∠ABC,AM⊥BC于點(diǎn)M,交BE于點(diǎn)G,AD平分∠MAC,交BC于點(diǎn)D,交BE于點(diǎn)F.
(1)判斷直線BE與線段AD之間的關(guān)系,并說明理由;
(2)若∠C=30°,圖中是否存在等邊三角形?若存在,請寫出來并證明;若不存在,請說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】聲音在空氣中傳播的速度和氣溫有如下關(guān)系:
氣溫(℃) | 0 | 5 | 10 | 15 | 20 |
聲速(m/s) | 331 | 334 | 337 | 340 | 343 |
(1)上表反應(yīng)了___________________________之間的關(guān)系,其中_______________是自變量,_______________是_________________的函數(shù)
(2)根據(jù)表中數(shù)據(jù)的變化,你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律是:氣溫每升高5℃,聲速______________,若用T表示氣溫,V表示聲速,請寫出聲速V與氣溫T之間的函數(shù)關(guān)系式V=________________
(3)根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律,回答問題:在30℃發(fā)生閃電的夏夜,小明在看到閃電6秒后聽到雷聲,那么發(fā)生打雷的地方距離小明大約有多遠(yuǎn)?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖點(diǎn)E在直線DF上,點(diǎn)B在直線AC上,若∠AGB=∠EHF,∠C=∠D.
試說明:∠A=∠F.
請同學(xué)們補(bǔ)充下面的解答過程,并填空(理由或數(shù)學(xué)式).
解:∵∠AGB=∠DGF(________________________________)
∠AGB=∠EHF(已知)
∴∠DGF=∠EHF(________________)
∴(_________)∥(_________)(____________________________)
∴∠D=(_________)(______________________________)
∵∠D=∠C(已知)
∴(__________)=∠C(_________________________________)
∴(_________)∥(_________)(_____________________________)
∴∠A=∠F(_______________________________________)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】知識鏈接:
“轉(zhuǎn)化、化歸思想”是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中常用的一種探究新知、解決問題的基本的數(shù)學(xué)思想方法,通過“轉(zhuǎn)化、化歸”通常可以實(shí)現(xiàn)化未知為已知,化復(fù)雜為簡單,從而使問題得以解決.
(1)問題背景:已知:△ABC.試說明:∠A+∠B+∠C=180°.
問題解決:(填出依據(jù))
解:(1)如圖①,延長AB到E,過點(diǎn)B作BF∥AC.
∵BF∥AC(作圖)
∴∠1=∠C( )
∠2=∠A( )
∵∠2+∠ABC+∠1=180°(平角的定義)
∴∠A+∠ABC+∠C=180°(等量代換)
小結(jié)反思:本題通過添加適當(dāng)?shù)妮o助線,把三角形的三個(gè)角之和轉(zhuǎn)化成了一個(gè)平角,利用平角的定義,說明了數(shù)學(xué)上的一個(gè)重要結(jié)論“三角形的三個(gè)內(nèi)角和等于180°.”
(2)類比探究:請同學(xué)們參考圖②,模仿(1)的解決過程試說明“三角形的三個(gè)內(nèi)角和等于180°”
(3)拓展探究:如圖③,是一個(gè)五邊形,請直接寫出五邊形ABCDE的五個(gè)內(nèi)角之和∠A+∠B+∠C+∠D+∠E= .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,AB=4,AC=3,BC=5,DE是BC的垂直平分線,DE分別交BC、AB于點(diǎn)D、E.
(1)求證:△ABC為直角三角形.
(2)求AE的長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,點(diǎn) A,B,C,D 依次在同一條直線上,點(diǎn) E,F 分別在直線 AD 的兩側(cè),已知 BE//CF,∠A=∠D,AE=DF.
(1)求證:四邊形 BFCE 是平行四邊形.
(2)若 AD=10,EC=3,∠EBD=60°,當(dāng)四邊形 BFCE是菱形時(shí),求 AB 的長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,∠ACB=90°,D是BC的中點(diǎn),DE⊥BC,CE∥AD,若AC=2,CE=4,求四邊形ACEB的周長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】認(rèn)真閱讀下面關(guān)于三角形內(nèi)外角平分線所夾的探究片段,完成所提出的問題.
探究1:如圖1,在△ABC中,O是∠ABC與∠ACB的平分線BO和CO的交點(diǎn),通過分析發(fā)現(xiàn)∠BOC=90°+,理由如下:
∵BO和CO分別是∠ABC和∠ACB的角平分線
∴∠1=∠ABC,∠2=∠ACB
∴∠1+∠2= (∠ABC+∠ACB)
又∵∠ABC+∠ACB=180°-∠A
∴∠1+∠2= (180°∠A)=90°∠A
∴∠BOC=180°-(∠1+∠2)=180°-(90°-∠A)=90°+∠A
探究2:如圖2中,O是∠ABC與外角∠ACD的平分線BO和CO的交點(diǎn),試分析∠BOC與∠A有怎樣的關(guān)系?請說明理由.
探究3:如圖3中,O是外角∠DBC與外角∠ECB的平分線BO和CO的交點(diǎn),則∠BOC與∠A有怎樣的關(guān)系?(只寫結(jié)論,不需證明)
結(jié)論:
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