Question

（2013•湖北）如圖，已知拋物線y=ax²+bx-4經(jīng)過A（-8，0），B（2，0）兩點(diǎn)，直線x=-4交x軸于點(diǎn)C，交拋物線于點(diǎn)D．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）點(diǎn)P在拋物線上，點(diǎn)E在直線x=-4上，若以A，O，E，P為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）若B，D，C三點(diǎn)到同一條直線的距離分別是d₁，d₂，d₃，問是否存在直線l，使d₁=d₂=

d3

2

？若存在，請(qǐng)直接寫出d₃的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式；
（2）平行四邊形可能有多種情形，如答圖1所述，需要分類討論：
①以AO為一邊的平行四邊形，有2個(gè)；
②以AO為對(duì)角線的平行四邊形，有1個(gè)，此時(shí)點(diǎn)P和點(diǎn)E必關(guān)于點(diǎn)C成中心對(duì)稱．
（3）存在4條符合條件的直線，分別如答圖2、答圖3所示．

解答：解：（1）∵拋物線y=ax²+bx-4經(jīng)過A（-8，0），B（2，0）兩點(diǎn)，
∴

64a-8b-4=0 4a+2b-4=0

，
解得：

a= 1 4 b= 3 2 .

∴y=

1

4

x2+

3

2

x-4； 

（2）∵點(diǎn)P在拋物線上，點(diǎn)E在直線x=-4上，
設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，

1

4

m2+

3

2

m-4)，點(diǎn)E的坐標(biāo)為（-4，n）．

如圖1，∵點(diǎn)A（-8，0），
∴AO=8．
①當(dāng)AO為一邊時(shí)，EP∥AO，且EP=AO=8，
∴|m+4|=8，解得：m₁=-12，m₂=4．
∴P₁（-12，14），P₂（4，6）（5分）
②當(dāng)AO為對(duì)角線時(shí)，則點(diǎn)P和點(diǎn)E必關(guān)于點(diǎn)C成中心對(duì)稱，故CE=CP．
∴

m=-4 1 4 m2+ 3 2 m-4=-n

，
解得：

m=-4 n=6

，
∴P₃ （-4，-6）．
∴當(dāng)P₁（-12，14），P₂（4，6），P₃ （-4，-6）時(shí)，A，O，E，P為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形．

（3）存在．
如圖2所示，連接BD，過點(diǎn)C作CH⊥BD于點(diǎn)H．

由題意得C（-4，0），B（2，0），D（-4，-6），
∴OC=4，OB=2，CD=6，∴△CDB為等腰直角三角形．
∴CH=CD•sin45°=6×

2

2

=3

2

．
∵BD=2CH，∴BD=6

2

．
①∵CO：OB=2：1，∴過點(diǎn)O且平行于BD的直線l₁滿足條件．
作BE⊥直線l₁于點(diǎn)E，DF⊥直線l₁于點(diǎn)F，設(shè)CH交直線l₁于點(diǎn)G．
∴BE=DF，即：d₁=d₂．
則

CG

BE

=

CO

BO

=

2

1

，

CG

GH

=

2

1

，即

d3

d1

=

2

1

，∴d₃=2d₁，∴d₁=d₂=

d3

2

．
∴CG=

2

3

CH，即d₃=

2

3

×3

2

=2

2

；
②如圖2，在△CDB外作直線l₂∥DB，延長CH交l₂于點(diǎn)G′，使CH=HG′，
∴d₃=CG′=2CH=6

2

；
③如圖3，過H，O作直線l₃，作BE⊥l₃于點(diǎn)E，DF⊥l₃于點(diǎn)F，CG⊥l₃于點(diǎn)G．

由①可知，DH=BH，則BE=DF，即：d₁=d₂．
∵CO：OB=2：1，∴d₁=d₂=

d3

2

．
作HI⊥x軸于點(diǎn)I，
∴HI=CI=

1

2

CB=3，∴OI=4-3=1，
∴OH=

HI2+OI2

=

32+12

=

10

．
∵△OCH的面積=

1

2

×4×3=

1

2

10

×d₃，∴d₃=

6 10

5

；
④如圖3，根據(jù)等腰直角三角形的對(duì)稱性，可作出直線l₄，易證：
d₁=d₂=

d3

2

，d₃=

6 10

5

．
綜上所述，存在直線l，使d₁=d₂=

d3

2

．d₃的值為：2

2

，6

2

，

6

5

10

．

點(diǎn)評(píng)：本題是二次函數(shù)綜合題型，考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、待定系數(shù)法、平行四邊形、相似三角形、勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，難度較大．第（2）問考查平行四邊形的判定及分類討論的數(shù)學(xué)思想，第（3）問是存在型問題，存在4條符合條件的直線，需要分類討論，避免漏解．