Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)是原點(diǎn)，矩形的頂點(diǎn)在軸的正半軸上，頂點(diǎn)在軸的正半軸上，頂點(diǎn)的坐標(biāo)為，拋物線經(jīng)過，兩點(diǎn)，與軸的另一個交點(diǎn)為點(diǎn)．

（1）如圖1，求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

（2）如圖2，連接，，將沿折疊后與、軸分別交于點(diǎn)，，求的長度；

（3）如圖3，將拋物線在上方的部分沿折疊后與軸交于點(diǎn)，求點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）．

【解析】

（1）根據(jù)矩形性質(zhì)分析出，，然后用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式；（2）由折疊的性質(zhì)可得，然后結(jié)合全等三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)及等腰三角形的判定得到．設(shè)，則，利用勾股定理列方程求解；（3）在AC上方的拋物線圖象取點(diǎn)F的對稱點(diǎn)F′，過點(diǎn)F′作y軸的平行線交直線AC于點(diǎn)G．先證F′A=F′G．繼而得直線AC的解析式為y=-2x+4．設(shè)點(diǎn)F（n，-2n2+2n+4），則G（n，-2n+4）．根據(jù)F′A2=F′G2求出n的值，從而得出FG＝，F′A=F′G=FA=，從而得出點(diǎn)F的坐標(biāo)．

解：（1）四邊形是矩形，，

，，

拋物線經(jīng)過，兩點(diǎn)，

拋物線的函數(shù)表達(dá)式為．

（2）由題意得：，

．

，

，

，

．

設(shè)，則．

在中，

解得，

．

（3）如圖，在上方的拋物線上取點(diǎn)的對稱點(diǎn)，過點(diǎn)作軸的平行線交直線于點(diǎn)．

由題意得：，．

，

，

，

．

易得直線的解析式為：．

設(shè)點(diǎn)，則

，．

，

，

即：，

化簡得：，即，

解得(不合題意，舍去)或，

，

，