Question

【題目】如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形OABC的邊長為a．直線y＝bx+c交x軸于E，交y軸于F，且a、b、c分別滿足﹣（a﹣4）2≥0，c＝+8.

（1）求直線y＝bx+c的解析式并直接寫出正方形OABC的對角線的交點(diǎn)D的坐標(biāo)；

（2）直線y＝bx+c沿x軸正方向以每秒移動1個單位長度的速度平移，設(shè)平移的時間為t秒，問是否存在t的值，使直線EF平分正方形OABC的面積？若存在，請求出t的值；若不存在，請說明理由；

（3）點(diǎn)P為正方形OABC的對角線AC上的動點(diǎn)（端點(diǎn)A、C除外），PM⊥PO，交直線AB于M，求的值．

Answer 1

【答案】（1）y=2x+8，D（2，2）；（2）存在，5；（3）.

【解析】

試題（1）利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求出a，b，c的值，進(jìn)而確定出直線y=bx+c，得到正方形的邊長，即可確定出D坐標(biāo)；

（2）存在，理由為：對于直線y=2x+8，令y=0求出x的值，確定出E坐標(biāo)，根據(jù)題意得：當(dāng)直線EF平移到過D點(diǎn)時正好平分正方形AOBC的面積，設(shè)平移后的直線方程為y=2x+t，將D坐標(biāo)代入求出b的值，確定出平移后直線解析式，進(jìn)而確定出此直線與x軸的交點(diǎn)，從而求出平移距離，得到t的值；

過P點(diǎn)作PQ∥OA，PH∥CO，交CO、AB于N、Q，交CB、OA于G、H，利用同角的余角相等得到一對角相等，再由一對直角相等，利用角平分線定理得到PH=PQ，利用AAS得到三角形OPH與三角形MPQ全等，得到OH=QM，根據(jù)四邊形CNPG為正方形，得到PG=BQ=CN，由三角形CGP為等腰直角三角形得到CP=GP=BM，即可求出所求式子的值．

試題解析：（1）∵-（a-4）2≥0，，

∴a=4，b=2，c=8，

∴直線y=bx+c的解析式為：y=2x+8，

∵正方形OABC的對角線的交點(diǎn)D，且正方形邊長為4，

∴D（2，2）；

（2）存在，理由為：

對于直線y=2x+8，

當(dāng)y=0時，x=-4，

∴E點(diǎn)的坐標(biāo)為（-4，0），

根據(jù)題意得：當(dāng)直線EF平移到過D點(diǎn)時正好平分正方形AOBC的面積，

設(shè)平移后的直線為y=2x+t，

代入D點(diǎn)坐標(biāo)（2，2），

得：2=4+t，即t=-2，

∴平移后的直線方程為y=2x-2，

令y=0，得到x=1，

∴此時直線和x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0），平移的距離為1-（-4）=5，

則t=5秒；

（3）過P點(diǎn)作PQ∥OA，PH∥CO，交CO、AB于N、Q，交CB、OA于G、H，

∵∠OPM=∠HPQ=90°，

∴∠OPH+∠HPM=90°，∠HPM+∠MPQ=90°，

∴∠OPH=∠MPQ，

∵AC為∠BAO平分線，且PH⊥OA，PQ⊥AB，

∴PH=PQ，

在△OPH和△MPQ中，

，

∴△OPH≌△MPQ（AAS），

∴OH=QM，

∵四邊形CNPG為正方形，

∴PG=BQ=CN，

∴CP=PG=BM，

即．