Question

閱讀與證明：在一個(gè)三角形中，如果有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等．如圖①，在△ABC中，如果∠B=∠C，那么AB=AC，這一結(jié)論可以說(shuō)明如下：
解：過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC于D，則∠ADB=∠ADC=90°，在△ABD和△ACD中
∠B=∠C，∠ADB=∠ADC，AD=AD
∴△ABD≌△ACD
∴AB=AC
請(qǐng)你仿照上述方法在圖②中再選一種方法說(shuō)明以上結(jié)論．
操作：如圖③，點(diǎn)O為線段MN的中點(diǎn)，直線PQ與MN相交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)M、N作一組平行線分別與PQ交于點(diǎn)M′、N′，則線段MM′一定等腰NN′．想一想，為什么？
根據(jù)上述閱讀與證明的結(jié)論以及操作得到的經(jīng)驗(yàn)完成下列探究活動(dòng)．探究：如圖④，在四邊形ABCD中，AB∥DC，E為BC邊的中點(diǎn)，∠BAE=∠EAF，AF與DC的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)F．試探究線段AB與AF、CF之間的等量關(guān)系，并說(shuō)明你的結(jié)論．

Answer 1

分析：閱讀與證明：作∠BAC的平分線AD，然后利用“角角邊”證明△ABD和△ACD全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等即可得證；
操作：根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等可得∠M=∠N，然后利用“角邊角”證明△MOM′和△NON′全等，再根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等即可得證；
探究：連接FE并延長(zhǎng)交AB于G，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等可得∠B=∠ECF，然后利用“角邊角”證明△BEG和△CEF全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得EF=EG，BG=CF，延長(zhǎng)AE到H，使AE=EH，利用“邊角邊”證明△AEG和△HEF全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得AG=HF，全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得∠BAE=∠H，然后求出∠H=∠EAF，再根據(jù)等角對(duì)等邊求出AF=HF，從而得到AG=AF，然后求解即可．

解答：解：閱讀與證明：如圖②，作∠BAC的平分線AD，則∠BAD=∠CAD，
在△ABD和△ACD中，

∠BAD=∠CAD ∠B=∠C AD=AD

，
∴△ABD≌△ACD（AAS），
∴AB=AC；

操作：如圖③，∵M(jìn)M′∥NN′，
∴∠M=∠N，
∵點(diǎn)O為線段MN的中點(diǎn)，
∴OM=ON，
在△MOM′和△NON′中，

∠M=∠N OM=ON ∠MOM′=∠NON′

，
∴△MOM′≌△NON′（ASA），
∴MM′=NN′；

探究：如圖④，連接FE并延長(zhǎng)交AB于G，
∵AB∥DC，
∴∠B=∠ECF，
∵E為BC邊的中點(diǎn)，
∴BE=CE，
在△BEG和△CEF中，

∠B=∠ECF BE=CE ∠BEG=∠CEF

，
∴△BEG≌△CEF（ASA），
∴EF=EG，BG=CF，
延長(zhǎng)AE到H，使AE=EH，
在△AEG和△HEF中，

AE=EH ∠AEH=∠HEF EF=EG

，
∴△AEG≌△HEF（SAS），
∴AG=HF，∠BAE=∠H，
∵∠BAE=∠EAF，
∴∠H=∠EAF，
∴AF=HF，
∴AG=AF，
∵AB=AG+BG，
∴AB=AF+CF．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，作輔助線構(gòu)造出全等三角形是解題的關(guān)鍵．