【題目】如圖,拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于A(﹣1,0),B(4,0)與y軸交于點C(0,2),拋物線的對稱軸交x軸于點D.

(1)求拋物線的表達式;
(2)在拋物線的對稱軸是否存在點P,使△PCD是以CD為腰的等腰三角形,如果存在,求出P點的坐標,若不存在,請說明理由;
(3)點E是線段BC上的一個動點,過點E作x軸的垂線與拋物線相交于點F,當點E運動到什么位置時,四邊形CDBF的面積最大?并求出四邊形CDBF的最大面積及此時E點的坐標.

【答案】
(1)

解:把A(﹣1,0),B(4,0),C(0,2)代入y=ax2+bx+c中得: ,

解得:

故拋物線的表達式為:y=﹣ x2+ x+2


(2)

解:y=﹣ x2+ x+2=﹣ (x﹣ 2+

則D( ,0),

在Rt△OCD中,OC=2,OD= ,

由勾股定理得:CD= = ,

如圖1,

①當CD=DP1時,△PCD是等腰三角形,

∴P1 , ),

②當CD=DP2時,△PCD是等腰三角形,

∴P2 ,﹣ ),

③當CD=CP3時,△PCD是等腰三角形,

過C作CE⊥DP1于E,

∵C(0,2),

∴DE=OC=2,

∵CD=CP3,

∴DE=P3E=2,

∴P3 ,4),

綜上所述,P點的坐標為:P1 , ),P2 ,﹣ ),P3 ,4)


(3)

解:如圖2,

∵A(﹣1,0),對稱軸是:x= ,

∴B(4,0),

設BC的解析式為:y=kx+b,

把B(4,0),C(0,2)代入得: ,

解得:

∴BC的解析式為:y=﹣ x+2,

設E(m,﹣ m+2),F(xiàn)(m,﹣ m2+ m+2),

∴EF=﹣ m2+ m+2﹣(﹣ m+2)=﹣ m2+2m,

∴S四邊形BDCF=SBCD+SBFC= BDOC+ EFOB= × ×2+ (﹣ m2+2m)×4,

S=﹣m2+4m+2.5=﹣(m﹣2)2+6.5(0<m<4),

當m=2時,﹣ m+2=﹣ ×2+2=1,

∴當m=2時,四邊形CDBF的面積最大,最大為6.5,此時E(2,1).


【解析】(1)利用待定系數(shù)法求拋物線的表達式;(2)以CD為腰的等腰三角形有三個:①②以D為圓心,以CD為半徑畫弧交對稱軸于P1、P2 , ③以C為圓心,以CD為半徑畫弧,交對稱軸于P3 , 分別求出這三個點的坐標;(3)先根據(jù)對稱性求點B的坐標為(4,0),再求直線BC的解析式,設出點E和F的坐標,表示EF的長;則四邊形BDCF的面積等于兩個三角形面積的和,其中△BDC是定值,△BFC的面積=鉛直高度與水平寬度的積,代入面積公式可求得S的解析式,求最值即可.
【考點精析】關于本題考查的坐標與圖形變化-對稱,需要了解關于x軸對稱的點的特征:兩個點關于x軸對稱時,它們的坐標中,x相等,y的符號相反,即點P(x,y)關于x軸的對稱點為P’(x,-y);關于y軸對稱的點的特征:兩個點關于y軸對稱時,它們的坐標中,y相等,x的符號相反,即點P(x,y)關于y軸的對稱點為P’(-x,y)才能得出正確答案.

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