Question

閱讀下面的情境對話，然后解答問題

（1）根據(jù)“奇異三角形”的定義，請你判斷小華提出的命題：“等邊三角形一定是奇異三角形”是真命題還是假命題？

（2）在RtABC 中， ∠ACB＝90°，AB＝c，AC＝b，BC＝a，且b＞a，若RtABC是奇異三角形，求a：b：c；

（3）如圖，AB是⊙O的直徑，C是上一點(diǎn)（不與點(diǎn)A、B重合），D是半圓的中點(diǎn)，CD在直徑AB的兩側(cè)，若在⊙O內(nèi)存在點(diǎn)E使得AE＝AD，CB＝CE．

1求證：ACE是奇異三角形；

2當(dāng)ACE是直角三角形時，求∠AOC的度數(shù)．

 

Answer 1

【答案】

解：（1）真命題

（2）在RtABC 中a²＋b²＝ c²，

∵c＞b＞a＞0

∴2c²＞a²＋b²，2a²＜c²＋b²

∴若RtABC是奇異三角形，一定有2b²＝c²＋ a²

∴2b²＝a²＋（a²＋b²）

∴b²＝2a²得：b＝a

∵c²＝b²＋ a²＝3a²

∴c＝

∴a：b： c＝

(3)1∵AB是⊙O的直徑ACBADB＝90°

在RtABC 中，AC²＋BC²＝AB²

在RtADB 中，AD²＋BD²＝AB²

∵點(diǎn)D是半圓的中點(diǎn)

∴＝

∴AD＝BD

∴AB²＝AD²＋BD²＝2AD²

∴AC²＋CB²＝2AD²

又∵CB＝CE，AE＝AD

∴AC²＝CE²＝2AE²

∴ACE是奇異三角形

2由1可得ACE是奇異三角形

∴AC²＝CE²＝2AE²

當(dāng)ACE是直角三角形時

【解析】（1）根據(jù)“奇異三角形”的定義與等邊三角形的性質(zhì)，求證即可；

（2）根據(jù)勾股定理與奇異三角形的性質(zhì)，可得a²+b²=c²與a²+c²=2b²，用a表示出b與c，即可求得答案；

（3）①AB是⊙O的直徑，即可求得∠ACB=∠ADB=90°，然后利用勾股定理與圓的性質(zhì)即可證得；

②利用（2）中的結(jié)論，分別從AC：AE：CE＝去分析，即可求得結(jié)果．