Question

如圖，BC是⊙O的直徑，P為⊙O上一點，點A是的中點，AD⊥BC，垂足為D，PB分別與AD、AC相交于點E、F．
（1）若∠BAD=36°，求∠ACB，∠ABP；
（2）如果AE=3，求BE．

Answer 1

解：（1）因為BC是⊙O的直徑
所以∠CAB=90°
所以∠ABD+∠ACB=90°
因為AD⊥BC
所以∠ABD+∠BAD=90°
所以∠ACB=∠BAD=36°
因為A是的中點，則
所以∠ABP=∠ACB=36°．

（2）因為∠ABP=∠ACB，∠BAD=∠ACB
所以∠ABP=∠BAD
因為AE=3
所以BE=3．
分析：（1）要求∠ACB的度數(shù)，根據(jù)直徑所對的圓周角是直角，得到直角三角形ABC，再結合AD⊥BC，根據(jù)等角的余角相等即可求解；要求∠ABP的度數(shù)，根據(jù)等弧所對的圓周角相等，則∠ABP=∠ACB．
（2）在（1）的基礎上，即可發(fā)現(xiàn)等腰三角形ABE．
點評：綜合運用了圓周角定理的推論、等角的余角相等、等角對等邊的性質(zhì)．