Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，BC=4，AB=3，經(jīng)過(guò)點(diǎn)B和點(diǎn)D的兩個(gè)動(dòng)圓均與AC相切，且與AB、BC、AD、DC分別交于點(diǎn)G、H、E、F，則EF+GH的最小值是（ ）

A.3B.4C.4.8D.5

Answer 1

【答案】C

【解析】

如圖，設(shè)GH的中點(diǎn)為O，過(guò)O點(diǎn)作OM⊥AC，過(guò)B點(diǎn)作BN⊥AC，垂足分別為M、N，根據(jù)∠B＝90°可知，點(diǎn)O為過(guò)B點(diǎn)的圓的圓心，OM為⊙O的半徑，BO＋OM為直徑，可知BO＋OM≥BN，故當(dāng)BN為直徑時(shí)，直徑的值最小，即直徑GH也最小，同理可得EF的最小值．

如圖，設(shè)GH的中點(diǎn)為O，

過(guò)O點(diǎn)作OM⊥AC，過(guò)B點(diǎn)作BN⊥AC，垂足分別為M、N，

在Rt△ABC中，BC＝4，AB＝3，

∴AC＝＝5，

由面積法可知，BNAC＝ABBC，

解得BN＝2.4，

∵∠B＝90°，

∴GH為⊙O的直徑，點(diǎn)O為過(guò)B點(diǎn)的圓的圓心，

∵⊙O與AC相切，

∴OM為⊙O的半徑，

∴BO＋OM為直徑，

又∵BO＋OM≥BN，

∴當(dāng)BN為直徑時(shí)，直徑的值最小，

此時(shí)，直徑GH＝BN＝2.4，

同理可得：EF的最小值為2.4，

∴EF＋GH的最小值是4.8．

故選C．