Question

如下圖，在矩形ABCD中，AB=12cm，BC=6cm．點(diǎn)P沿AB邊從點(diǎn)A開(kāi)始向點(diǎn)B以2cm/s的速度移動(dòng)；點(diǎn)Q沿DA邊從點(diǎn)D開(kāi)始向點(diǎn)A以1 cm/s的速度移動(dòng)．如果P、Q同時(shí)出發(fā)，用t（s）表示移動(dòng)的時(shí)間（0≤t≤6）那么：
（1）當(dāng)t為何值時(shí)，△QAP為等腰直角三角形？
（2）求四邊形QAPC的面積，提出一個(gè)與計(jì)算結(jié)果有關(guān)的結(jié)論；
（3）當(dāng)t為何值時(shí)，以點(diǎn)Q、A、P為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似？

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意分析可得：因?yàn)閷?duì)于任何時(shí)刻t，AP=2t，DQ=t，QA=6-t．當(dāng)QA=AP時(shí)，△QAP為等腰直角三角形，可得方程式，解可得答案；
（2）根據(jù)（1）中．在△QAC中，QA=6-t，QA邊上的高DC=12，由三角形的面積公式可得關(guān)系式，計(jì)算可得在P、Q兩點(diǎn)移動(dòng)的過(guò)程中，四邊形QAPC的面積始終保持不變；
（3）根據(jù)題意，在矩形ABCD中，可分為

QA

AB

=

AP

BC

、

QA

BC

=

AP

AB

兩種情況來(lái)研究，列出關(guān)系式，代入數(shù)據(jù)可得答案．

解答：解：（1）對(duì)于任何時(shí)刻t，AP=2t，DQ=t，QA=6-t．
當(dāng)QA=AP時(shí)，△QAP為等腰直角三角形，即：6-t=2t，
解得：t=2（s），
所以，當(dāng)t=2s時(shí)，△QAP為等腰直角三角形．

（2）在△QAC中，QA=6-t，QA邊上的高DC=12，
∴S_△QAC=

1

2

QA•DC=

1

2

（6-t）•12=36-6t．
在△APC中，AP=2t，BC=6，
∴S_△APC=

1

2

AP•BC=

1

2

•2t•6=6t．
∴S_{四邊形QAPC}=S_△QAC+S_△APC=（36-6t）+6t=36（cm²）．
由計(jì)算結(jié)果發(fā)現(xiàn)：
在P、Q兩點(diǎn)移動(dòng)的過(guò)程中，四邊形QAPC的面積始終保持不變．（也可提出：P、Q兩點(diǎn)到對(duì)角線(xiàn)AC的距離之和保持不變）．

（3）根據(jù)題意，可分為兩種情況來(lái)研究，在矩形ABCD中：
①當(dāng)

QA

AB

=

AP

BC

時(shí)，△QAP∽△ABC，那么有：

6-t

12

=

2t

6

，解得t=

6

5

=1.2（s），
即當(dāng)t=1.2s時(shí)，△QAP∽△ABC；

②當(dāng)

QA

BC

=

AP

AB

時(shí)，△PAQ∽△ABC，那么有：

6-t

6

=

2t

12

，解得t=3（s），
即當(dāng)t=3s時(shí)，△PAQ∽△ABC；
所以，當(dāng)t=1.2s或3s時(shí)，以點(diǎn)Q、A、P為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似．

點(diǎn)評(píng)：此題比較復(fù)雜，綜合了等腰三角形、相似三角形的判定定理與性質(zhì)，是一道具有一定綜合性的好題．