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(2002•河北)如下圖,在矩形ABCD中,AB=12 cm,BC=6 cm.點P沿AB邊從點A開始向點B以2 cm/s的速度移動;點Q沿DA邊從點D開始向點A以1 cm/s的速度移動.如果P、Q同時出發(fā),用t(s)表示移動的時間(0≤t≤6)那么:
(1)當t為何值時,△QAP為等腰直角三角形?
(2)求四邊形QAPC的面積,提出一個與計算結果有關的結論;
(3)當t為何值時,以點Q、A、P為頂點的三角形與△ABC相似?

【答案】分析:(1)根據題意分析可得:因為對于任何時刻t,AP=2t,DQ=t,QA=6-t.當QA=AP時,△QAP為等腰直角三角形,可得方程式,解可得答案;
(2)根據(1)中.在△QAC中,QA=6-t,QA邊上的高DC=12,由三角形的面積公式可得關系式,計算可得在P、Q兩點移動的過程中,四邊形QAPC的面積始終保持不變;
(3)根據題意,在矩形ABCD中,可分為=、=兩種情況來研究,列出關系式,代入數據可得答案.
解答:解:(1)對于任何時刻t,AP=2t,DQ=t,QA=6-t.
當QA=AP時,△QAP為等腰直角三角形,即:6-t=2t,解得:t=2(s),
所以,當t=2s時,△QAP為等腰直角三角形.

(2)在△QAC中,QA=6-t,QA邊上的高DC=12,
∴S△QAC=QA•DC=(6-t)•12=36-6t.
在△APC中,AP=2t,BC=6,
∴S△APC=AP•BC=•2t•6=6t.
∴S四邊形QAPC=S△QAC+S△APC=(36-6t)+6t=36(cm2).
由計算結果發(fā)現:
在P、Q兩點移動的過程中,四邊形QAPC的面積始終保持不變.(也可提出:P、Q兩點到對角線AC的距離之和保持不變)

(3)根據題意,可分為兩種情況來研究,在矩形ABCD中:
①當=時,△QAP∽△ABC,那么有:
=,解得t==1.2(s),
即當t=1.2s時,△QAP∽△ABC;

②當=時,△PAQ∽△ABC,那么有:
=,解得t=3(s),
即當t=3s時,△PAQ∽△ABC;
所以,當t=1.2s或3s時,以點Q、A、P為頂點的三角形與△ABC相似.
點評:此題比較復雜,綜合了等腰三角形、相似三角形的判定定理與性質,是一道具有一定綜合性的好題.
練習冊系列答案
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(2)兩人在途中行駛的速度分別是多少?
(3)請你分別求出表示自行車和摩托車行駛過程的函數解析式(不要求寫出自變量的取植范圍);
(4)指出在什么時間段內兩車均行駛在途中(不包括端點);在這一時間段內,請你分別按下列條件列出關于時間x的方程或不等式(不要化簡,也不要求解):①自行車行駛在摩托車前面;②自行車與摩托車相遇;③自行車行駛在摩托車后面.

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