Question

【題目】如圖1，已知點E在正方形ABCD的邊BC上，若∠AEF=90°，且EF交正方形外角的平分線CF于點F．

（1）圖1中若點E是邊BC的中點，我們可以構(gòu)造兩個三角形全等來證明AE=EF，請敘述你的一個構(gòu)造方案，并指出是哪兩個三角形全等（不要求證明）；

（2）如圖2，若點E在線段BC上滑動（不與點B，C重合）．
①AE=EF是否總成立？請給出證明；
②在圖2的AB邊上是否存在一點M，使得四邊形DMEF是平行四邊形？若存在，請給予證明；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

解：如圖1，取AB的中點G，連接EG，

△AGE與△ECF全等；

（2）

①若點E在線段BC上滑動時，AE=EF總成立．

證明：如圖2，在AB上截取AH=EC，連接EH，

∵AB=BC，

∴BH=BE，

∴△HBE是等腰直角三角形，

∴∠AHE=180°﹣45°=135°，

又∵CF平分正方形的外角，

∴∠ECF=135°，

∴∠AHE=∠ECF．

而∠BAE+∠AEB=∠CEF+∠AEB=90°，

∴∠BAE=∠CEF，

∴△AHE≌△ECF，

∴AE=EF；

②答：存在，如圖3，

過D作DM⊥AE交AB于點M，

則有：DM∥EF，連接ME、DF，

∵在△ADM與△BAE中， ，

∴△ADM≌△BAE（AAS），

∴MD=AE，

∵AE=EF，

∴MD=EF，

∵M(jìn)D∥EF，

∴四邊形DMEP為平行四邊形。

【解析】（1）作輔助線，AG=EC，∠BAE=∠CEF，∠AGE=∠ECF=180°﹣45°=135°，則△AGE≌△ECF；（2）①成立，作輔助線，仍然證明△AHE≌△ECF得出結(jié)論；②存在，如圖3，過D作DM⊥AE交AB于點M，構(gòu)成四邊形DMEF，證明四邊形為平行四邊形即可．
【考點精析】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)和平行四邊形的判定的相關(guān)知識點，需要掌握平行四邊形的對邊相等且平行；平行四邊形的對角相等，鄰角互補(bǔ)；平行四邊形的對角線互相平分；兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形：兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形；一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形；兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形；對角線互相平分的四邊形是平行四邊形才能正確解答此題．