Question

定義A=、B=（a，b，m均為有理數(shù)）都是無理數(shù)，滿足：①A+B=2a為有理數(shù)，②AB=a²-mb²為有理數(shù)．稱A、B兩數(shù)為一對共軛數(shù)．（如：，，∵+=6，=，∴，是一對共軛數(shù)）．
（1）已知，x₁，x₂是方程x²-4x=2的兩個根，求x₁、x₂的值，并判別x₁、x₂是否是一對共軛數(shù)？
（2）在（1）的條件下，試判別x₁²、x₂²是否是一對共軛數(shù)？

Answer 1

解：（1）由方程x²-4x-2=0
解得：x₁==2+
x₂=2-
檢驗：x₁+x₂=4=2×2，x₁，x₂=-1=4-5×1=-1
故x₁，x₂是一對共軛數(shù)．

（2）x₂²=（2-）²=10-4，x₁²=（2+）²=10+4，
x₁²+x₂²=20，
x₁²x₂²=4．
故x₁²、x₂²是一對共軛數(shù)．
分析：（1）求得方程x²-4x=2的兩個根后，檢驗是否本題所說的條件即可．
（2）由（1）求得兩根，再求得x₁²、x₂²的值，看是否符合其定義．
點評：本題考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的根與系數(shù)的關(guān)系：若方程的兩根分別為x₁，x₂，則x₁+x₂=-，x₁•x₂=．并要根據(jù)共軛數(shù)的定義，計算出代數(shù)來判斷．