Question

【題目】如圖，直線與拋物線分別交于點(diǎn)A、點(diǎn)B，且點(diǎn)A在y軸上，拋物線的頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為．

(1)求拋物線的解析式；

(2)點(diǎn)P是線段AB上一動(dòng)點(diǎn)，射線軸并與直線BC和拋物線分別交于點(diǎn)M、N，過點(diǎn)P作軸于點(diǎn)E，當(dāng)PE與PM的乘積最大時(shí)，在y軸上找一點(diǎn)Q，使的值最大，求的最大值和此時(shí)Q的坐標(biāo)；

(3)在拋物線上找一點(diǎn)D，使△ABD為直角三角形，求D點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）；（2） ，Q點(diǎn)坐標(biāo)為；（3） 點(diǎn)坐標(biāo)為

【解析】

（1）直線與拋物線分別交于點(diǎn)A、點(diǎn)B，求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，根據(jù)拋物線的頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為．設(shè)出拋物線的解析式，把點(diǎn)A的坐標(biāo)代入即可求出拋物線的解析式.

(2) 聯(lián)立，求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，用待定系數(shù)法求出BC的解析式為，設(shè)，則，進(jìn)而表示出，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出它的最大值，此時(shí)，即可求出的最大值以及此時(shí)Q的坐標(biāo).

(3)根據(jù)△ABD為直角三角形，分成三種情況進(jìn)行討論即可.

(1) 由題意得：

,

設(shè)拋物線解析式為

將點(diǎn)代入得：

解得：,

,

.

(2) 聯(lián)立解得：或

即點(diǎn)的坐標(biāo)為

設(shè)的解析式為，代入和得：

解得：

∴BC的解析式為

設(shè)，則

，

∴，即

∵C、P在y軸同側(cè)

∴Q在PC延長線上時(shí)，最大，

此時(shí)，Q為直線PC與y軸的交點(diǎn)，

由和得直線PC的解析式為：

∴Q點(diǎn)坐標(biāo)為

(3) 點(diǎn)坐標(biāo)為