【題目】已知關(guān)于x的方程(x﹣3)(x﹣2)﹣p2=0.
(1)求證:無論p取何值時,方程總有兩個不相等的實數(shù)根;
(2)設(shè)方程兩實數(shù)根分別為x1 , x2 , 且滿足 ,求實數(shù)p的值.
【答案】
(1)
證明:(x﹣3)(x﹣2)﹣p2=0,
x2﹣5x+6﹣p2=0,
△=(﹣5)2﹣4×1×(6﹣p2)=25﹣24+4p2=1+4p2,
∵無論p取何值時,總有4p2≥0,
∴1+4p2>0,
∴無論p取何值時,方程總有兩個不相等的實數(shù)根.
(2)
證明:x1+x2=5,x1x2=6﹣p2,
∵ ,
∴(x1+x2)2﹣2x1x2=3x1x2,
∴52=5(6﹣p2),
∴p=±1.
【解析】(1)化成一般形式,求根的判別式,當(dāng)△>0時,方程總有兩個不相等的實數(shù)根;
。2)根據(jù)根與系的關(guān)系求出兩根和與兩根積,再把 變形,化成和與乘積的形式,代入計算,得到一個關(guān)于p的一元二次方程,解方程.
本題考查了根的判別式和根與系數(shù)的關(guān)系,注意熟記以下知識點:
一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根與△=b2﹣4ac有如下關(guān)系:
①當(dāng)△>0時,方程有兩個不相等的兩個實數(shù)根;
②當(dāng)△=0時,方程有兩個相等的兩個實數(shù)根;
③當(dāng)△<0時,方程無實數(shù)根.
上面的結(jié)論反過來也成立.
一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的兩實數(shù)根分別為x1 , x2 , 則有 , .
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,I是△ABC的內(nèi)心,AI的延長線和△ABC的外接圓相交于點D,連接BI、BD、DC.下列說法中錯誤的一項是( 。
A.線段DB繞點D順時針旋轉(zhuǎn)一定能與線段DC重合
B.線段DB繞點D順時針旋轉(zhuǎn)一定能與線段DI重合
C.∠CAD繞點A順時針旋轉(zhuǎn)一定能與∠DAB重合
D.線段ID繞點I順時針旋轉(zhuǎn)一定能與線段IB重合
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,△ABC中,AD⊥BC,CE⊥AB,垂足分別為D、E,AD、CE交于點H,請你添加一個適當(dāng)?shù)臈l件:_____________,使△AEH≌△CEB.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知關(guān)于x的二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象經(jīng)過點(﹣2,y1),(﹣1,y2),(1,0),且y1<0<y2 , 對于以下結(jié)論:
①abc>0;②a+3b+2c≤0;③對于自變量x的任意一個取值,都有 x2+x≥﹣ ;④在﹣2<x<﹣1中存在一個實數(shù)x0 , 使得x0=﹣ ,
其中結(jié)論錯誤的是 (只填寫序號).
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【題目】閱讀下列文字:
我們知道,對于一個圖形,通過兩種不同的方法計算它的面積,可以得到一個數(shù)學(xué)等式,例如由圖1可以得到(a+2b)(a+b)=a2+3ab+2b2.請解答下列問題:
(1)寫出圖2中所表示的數(shù)學(xué)等式_____;
(2)利用(1)中所得到的結(jié)論,解決下面的問題:已知a+b+c=11,ab+bc+ac=38,求a2+b2+c2的值;
(3)圖3中給出了若干個邊長為a和邊長為b的小正方形紙片及若干個邊長分別為a、b的長方形紙片,
①請按要求利用所給的紙片拼出一個幾何圖形,并畫在圖3所給的方框中,要求所拼出的幾何圖形的面積為2a2+5ab+2b2,
②再利用另一種計算面積的方法,可將多項式2a2+5ab+2b2分解因式.即2a2+5ab+2b2=______.
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【題目】如圖,在矩形ABCD中,AB=8,BC=16,將矩形ABCD沿EF折疊,使點C與點A重合,則折痕EF的長為__________.
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【題目】如圖1,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,拋物線y=ax2+1經(jīng)過點A(4,﹣3),頂點為點B,點P為拋物線上的一個動點,l是過點(0,2)且垂直于y軸的直線,過P作PH⊥l,垂足為H,連接PO.
(1)求拋物線的解析式,并寫出其頂點B的坐標(biāo);
(2)①當(dāng)P點運動到A點處時,計算:PO= , PH= , 由此發(fā)現(xiàn),POPH(填“>”、“<”或“=”);
②當(dāng)P點在拋物線上運動時,猜想PO與PH有什么數(shù)量關(guān)系,并證明你的猜想;
(3)如圖2,設(shè)點C(1,﹣2),問是否存在點P,使得以P,O,H為頂點的三角形與△ABC相似?若存在,求出P點的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
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【題目】若一個兩位數(shù)恰等于它的各位數(shù)字之和的倍,則這個兩位數(shù)稱為“巧數(shù)”.不是“巧數(shù)”的兩位數(shù)有______個.
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【題目】如圖,由下列條件可判定哪兩條直線平行,并說明根據(jù).
(1)∠1=∠2,________________________.
(2)∠A=∠3,________________________.
(3)∠ABC+∠C=180°,________________________.
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