Question

如圖，在等腰梯形ABCD中，ABDC，AB=3，DC=，高CE=2，對角線AC、BD交于H，平行于線段BD的兩條直線MN、RQ同時(shí)從點(diǎn)A出發(fā)沿AC方向向點(diǎn)C勻速平移，分別交等腰梯形ABCD的邊于M、N和R、Q，分別交對角線AC于F、G；當(dāng)直線RQ到達(dá)點(diǎn)C時(shí)，兩直線同時(shí)停止移動(dòng)．記等腰梯形ABCD被直線MN掃過的圖形面積為S₁、被直線RQ掃過的圖形面積為S₂，若直線MN平移的速度為1單位/秒，直線RQ平移的速度為2單位/秒，設(shè)兩直線移動(dòng)的時(shí)間為x秒．
（1）填空：∠AHB=　 　；AC=　  ；
（2）若S₂=3S₁，求x；
（3）設(shè)S₂=mS₁，求m的變化范圍．

Answer 1

解：（1）90°；4。
（2）直線移動(dòng)有兩種情況：0＜x＜及≤x≤2。

①當(dāng)0＜x＜時(shí)，∵M(jìn)N∥BD，∴△AMN∽△ARQ。
∵直線MN平移的速度為1單位/秒，直線RQ平移的速度為2單位/秒，
∴△AMN和△ARQ的相似比為1：2。
∴�！郤₂=4S₁，與題設(shè)S₂=3S₁矛盾。
∴當(dāng)0＜x＜時(shí)，不存在x使S₂=3S₁。
②當(dāng)≤x≤2時(shí)，
 ∵AB∥CD，∴△ABH∽△CDH。
∴CH：AH=CD：AB=DH：BH=1：3。
∴CH=DH=AC=1，AH═BH=4﹣1=3。
∵CG=4﹣2x，AC⊥BD，∴S_△BCD=×4×1=2
∵RQ∥BD，∴△CRQ∽△CDB。
∴。
又，
∵M(jìn)N∥BD，∴△AMN∽△ADB。∴，
∴S₁=x²，S₂=8﹣8（2﹣x）²。
∵S₂=3S₁，∴8﹣8（2﹣x）²=3·x²，解得：x₁=（舍去），x₂=2。
∴x的值為2。
（3）由（2）得：當(dāng)0＜x＜時(shí)，m=4，
當(dāng)≤x≤2時(shí)，∵S₂=mS₁，
∴。
∴m是的二次函數(shù)，當(dāng)≤x≤2時(shí)，即當(dāng)時(shí)，m隨的增大而增大，
∴當(dāng)x=時(shí)，m最大，最大值為4；當(dāng)x=2時(shí)，m最小，最小值為3。
∴m的變化范圍為：3≤m≤4。

解析