Question

【題目】在△ABC中，∠ACB=30°，將△ABC繞點(diǎn)B按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，得到△A1BC1 ．

（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)C1在線段CA的延長(zhǎng)線時(shí)，求∠CC1A1的度數(shù)；
（2）已知AB=6，BC=8，
①如圖2，連接AA1 ， CC1 ， 若△CBC1的面積為16，求△ABA1的面積；
②如圖3，點(diǎn)E為線段AB中點(diǎn)，點(diǎn)P是線段AC上的動(dòng)點(diǎn)，在△ABC繞點(diǎn)B按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)的過程中，點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)是點(diǎn)P1 ， 直接寫出線段EP1長(zhǎng)度的最大值．
（3）線段EP1長(zhǎng)度的最大值為11，理由如下：

Answer 1

【答案】
（1）

解：依題意得：△A1C1B≌△ACB，

∴BC1=BC，∠A1C1B=∠C=30°，

∴∠BC1C=∠C=30°，

∴∠CC1A1=60°

（2）

解：如圖2所示：

由（1）知：△A1C1B≌△ACB，

∴A1B=AB，BC1=BC，∠A1BC1=∠ABC，

∴∠1=∠2， = = ，

∴△A1BA∽△C1BC，

∴ =（ ）2，

∵△CBC1的面積為16，

∴△ABA1的面積=9

（3）

如圖3所示：當(dāng)P在AC上運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)C，△ABC繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)P1在線段AB的延長(zhǎng)線上時(shí)，EP1最大，

最大值為：EP1=BC+BE=8+3=11．

即線段EP1長(zhǎng)度的最大值為11．

【解析】（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：∠A1C1B=∠ACB=30°，BC=BC1 ， 又由等腰三角形的性質(zhì)，即可求得∠CC1A1的度數(shù)；（2）①由△ABC≌△A1BC1 ， 易證得△ABA1∽△CBC1 ， 然后利用相似三角形的面積比等于相似比的平方，即可求得△ABA1的面積；②當(dāng)P在AC上運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)C，△ABC繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)P1在線段AB的延長(zhǎng)線上時(shí)，EP1最大，即可求得線段EP1長(zhǎng)度的最大值．
【考點(diǎn)精析】利用相似三角形的判定和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)對(duì)題目進(jìn)行判斷即可得到答案，需要熟知相似三角形的判定方法:兩角對(duì)應(yīng)相等，兩三角形相似（ASA）；直角三角形被斜邊上的高分成的兩個(gè)直角三角形和原三角形相似； 兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等，兩三角形相似（SAS）；三邊對(duì)應(yīng)成比例，兩三角形相似（SSS）；①旋轉(zhuǎn)后對(duì)應(yīng)的線段長(zhǎng)短不變，旋轉(zhuǎn)角度大小不變；②旋轉(zhuǎn)后對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離不變；③旋轉(zhuǎn)后物體或圖形不變，只是位置變了．