Question

已知△ABC的一邊為5，另外兩邊恰是方程x²-6x+m=0的兩個(gè)根．
（1）求實(shí)數(shù)m的取值范圍．
（2）當(dāng)m取最大值時(shí)，求△ABC的面積．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)韋達(dá)定理求得x₁+x₂=6，x₁•x₂，=m；然后由三角形的三邊關(guān)系、一元二次方程的根的判別式列出關(guān)于m的不等式組，解不等式即可；
（2）過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D．在直角三角形ACD中，利用勾股定理求得AD的長(zhǎng)度．然后利用三角形的面積公式：面積=底×高，解答問(wèn)題．
解答：解：（1）設(shè)另兩邊為x₁，x₂，且x₁＞x₂．
∴由韋達(dá)定理，得
x₁+x₂=6，x₁•x₂，=m；
根據(jù)三邊關(guān)系得：
x₁+x₂=6＞5 ①；
∴x₁-x₂==＜5；
解得，m＞；
又∵△=36-4m≥0，
解得，m≤9，
∴m的取值范圍是：＜m≤9；

（2）當(dāng)m取最大值，即m=9時(shí)，由原方程得
x²-6x+9=0，即（x-3）²=0，
解得，x₁=x₂=3，
過(guò)點(diǎn)A作AD⊥BC于點(diǎn)D．
∴AD=
∴S_△ABC=．
點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了三角形的三邊關(guān)系、根的判別式、根與系數(shù)的關(guān)注．將根與系數(shù)的關(guān)系與代數(shù)式變形相結(jié)合解題是一種經(jīng)常使用的解題方法．