Question

已知△ABC的一邊AC為關(guān)于x的一元二次方程x²+mx+4=0的兩個(gè)正整數(shù)根之一，且另兩邊長為BC=4，AB=6，求cosA．

Answer 1

分析：根據(jù)題意畫出圖形，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系求出一元二次方程x²+mx+4=0的兩根之積，由方程的兩個(gè)正整數(shù)根估計(jì)出兩根的值，再根據(jù)三角形的三邊關(guān)系確定出AC的長，由等腰三角形的性質(zhì)可求出AD的長，最后由銳角三角函數(shù)的定義解答即可．

解答：解：根據(jù)與系數(shù)的關(guān)系可知：
x₁•x₂=4，
又∵x₁、x₂為正整數(shù)解，
∴x₁，x₂可為1、4或2、2（2分）
又∵BC=4，AB=6，
∴2＜AC＜10，
∴AC=4，（5分）
∴AC=BC=4，△ABC為等腰三角形，
過點(diǎn)C作CD⊥AB，∴AD=3，（7分）
cosA=

AD

AC

=

3

4

．（8分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是銳角三角函數(shù)的定義、一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系及等腰三角形的性質(zhì)，涉及面較廣，難度適中．