Question

如圖，點(diǎn)F是△ABC的AC邊中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作BC的平行線，與∠ABC的平分線相交于點(diǎn)D，E為BD的中點(diǎn)．
試探究：（1）AE與BD的位置關(guān)系，并給予證明；
（2）EF、AB、BC之間的數(shù)量關(guān)系，并給予證明．

Answer 1

（1）AE⊥BD；
證明：∵AD∥BC，
∴∠D=∠DBC，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC，
則∠D=∠ABD，
∴AB=AD，即△ABD是等腰三角形，
又∵E是BD的中點(diǎn)，
∴AE⊥BD（三線合一）；

（2）EF=

1

2

（BC-AB）；
證明：延長(zhǎng)AE交BC于點(diǎn)G，（或延長(zhǎng)DF）（5分）
由（1）知∠D=∠EBG，
∵E是BD中點(diǎn)，
∴BE=DE，
又∵∠AED=∠GEB，
∴△AED≌△GEB（ASA），
∴AD=GB，AE=GE，
又∵F為AC中點(diǎn)，
∴EF是△ACG的中位線，
則EF=

1

2

GC，
∵GC=BC-GB=BC-AD，由（1）知AD=AB，
∴GC=BC-AB，
∴EF=

1

2

（BC-AB）．