Question

【題目】如圖，邊長為4的大正方形ABCD內有一個邊長為1的小正方形CEFG，動點P以每秒1cm的速度從點A出發(fā)，沿A→D→E→F→G→B的路線繞多邊形的邊勻速運動到點B停止（不含點A和點B）．設△ABP的面積為S，點P的運動時間為t．

（1）小穎通過認真的觀察分析，得出了一個正確的結論：當點P在線段DE上運動時，存在著“同底等高”的現(xiàn)象，因此當點P在線段DE上運動時△ABP的面積S始終不發(fā)生變化．

問：在點P的運動過程中，還存在類似的現(xiàn)象嗎？若存在，請說出P的位置；若不存在，請說明理由．

（2）在點P的運動過程中△ABP的面積S是否存在最大值？若存在，請求出最大面積；若不存在，請說明理由．

（3）請寫出S與t之間的關系式．

Answer 1

【答案】（1）在點P的運動過程中，還存在類似的現(xiàn)象，當點P在線段GF上運動時，存在著“同底等高”的現(xiàn)象，當點P在線段GF上運動時，△ABP的面積S始終不發(fā)生變化．（2）8；（3）①當點P在AD上時，S =2t（0＜t≤4），

②當點P在DE上時，S=8（4＜t≤7），

③當點P在EF上時，S=22-2t（7＜t≤8），

④當點P在GF上時，S=6（8＜t≤9），

⑤當點P在GB上時，S=24-2t（9＜t＜12）．

【解析】

（1）根據(jù)GF∥AB，可得當點P在線段GF上運動時，存在著“同底等高”的現(xiàn)象，即當點P在線段GF上運動時，△ABP的面積S始終不發(fā)生變化．

（2）當點P在線段DE上運動時，AB邊上的高為4，據(jù)此可得△ABP的面積S最大值為：AB×AD=×4×4=8；

（3）分5種情況進行討論：①當點P在AD上時，②當點P在DE上時，③當點P在EF上時，④當點P在GF上時，⑤當點P在GB上時，分別根據(jù)△ABP的面積計算方法，得出S與t之間的關系式．

（1）在點P的運動過程中，還存在類似的現(xiàn)象．

∵∠ABG+∠BGF=180°，

∴GF∥AB，

∴當點P在線段GF上運動時，存在著“同底等高”的現(xiàn)象，

∴當點P在線段GF上運動時，△ABP的面積S始終不發(fā)生變化；

（2）∵△ABP中，AB的長不變，

∴當AB邊上的高最大時，△ABP的面積S存在最大值，

故當點P在線段DE上運動時，AB邊上的高為4，

∴△ABP的面積S最大值為：AB×AD=×4×4=8；

（3）分5種情況：

①當點P在AD上時，S=×4×t=2t（0＜t≤4），

②當點P在DE上時，S=×4×4=8（4＜t≤7），

③當點P在EF上時，S=×4×[4-（t-7）]=2（11-t）=22-2t（7＜t≤8），

④當點P在GF上時，S=×4×3=6（8＜t≤9），

⑤當點P在GB上時，S=×4×[4-（t-8）]=2（12-t）=24-2t（9＜t＜12）．