Question

【題目】如圖，已知直線y＝x與反比例函數(shù)y＝(k>0)的圖象交于A，B兩點(diǎn)，且點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為4.

(1)求k的值．

(2)若反比例函數(shù)y＝的圖象上一點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為8，求△AOC的面積．

(3)若過原點(diǎn)O的另一條直線l交反比例函數(shù)y＝ (k>0)的圖象于P，Q兩點(diǎn)(點(diǎn)P在第一象限)，以A，B，P，Q為頂點(diǎn)組成的四邊形面積為24，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】(1)8(2)15(3) (2，4)或(8，1)

【解析】（1）先根據(jù)直線的解析式求出A點(diǎn)的坐標(biāo)，然后將A點(diǎn)坐標(biāo)代入雙曲線的解析式中即可求出k的值；

（2）由（1）得出的雙曲線的解析式，可求出C點(diǎn)的坐標(biāo)，由于△AOC的面積無法直接求出，因此可通過作輔助線，通過其他圖形面積的和差關(guān)系來求得．（解法不唯一）；

（3）由于雙曲線是關(guān)于原點(diǎn)的中心對稱圖形，因此以A、B、P、Q為頂點(diǎn)的四邊形應(yīng)該是平行四邊形，那么△POA的面積就應(yīng)該是四邊形面積的四分之一即6．可根據(jù)雙曲線的解析式設(shè)出P點(diǎn)的坐標(biāo)，然后參照（2）的三角形面積的求法表示出△POA的面積，由于△POA的面積為6，由此可得出關(guān)于P點(diǎn)橫坐標(biāo)的方程，即可求出P點(diǎn)的坐標(biāo)．

（1）∵點(diǎn)A橫坐標(biāo)為4，

把x=4代入y=x中

得y=2，

∴A（4，2），

∵點(diǎn)A是直線y=x與雙曲線y=（k＞0）的交點(diǎn)，

∴k=4×2=8；

（2）如圖，

∵點(diǎn)C在雙曲線上，

當(dāng)y=8時，x=1，

∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（1，8）．

過點(diǎn)A、C分別做x軸、y軸的垂線，垂足為M、N，得矩形DMON．

∵S矩形ONDM=32，S△ONC=4，S△CDA=9，S△OAM=4．

∴S△AOC=S矩形ONDM-S△ONC-S△CDA-S△OAM=32-4-9-4=15；

（3）∵反比例函數(shù)圖象是關(guān)于原點(diǎn)O的中心對稱圖形，

∴OP=OQ，OA=OB，

∴四邊形APBQ是平行四邊形，

∴S△POA=S平行四邊形APBQ×=×24=6，

設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m（m＞0且m≠4），

得P（m，），

過點(diǎn)P、A分別做x軸的垂線，垂足為E、F，

∵點(diǎn)P、A在雙曲線上，

∴S△POE=S△AOF=4，

若0＜m＜4，如圖，

∵S△POE+S梯形PEFA=S△POA+S△AOF，

∴S梯形PEFA=S△POA=6．

∴（2+）（4-m）=6．

∴m1=2，m2=-8（舍去），

∴P（2，4）；

若m＞4，如圖，

∵S△AOF+S梯形AFEP=S△AOP+S△POE，

∴S梯形PEFA=S△POA=6．

∴（2+）（m-4）=6，

解得m1=8，m2=-2（舍去），

∴P（8，1）．

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)是P（2，4）或P（8，1）．