Question

【題目】如圖1，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，BD平分∠ABC．

（1）延長(zhǎng)BA到M，使AM=AD，連接CM，求∠ACM的度數(shù)．

（2）如圖2，若CE⊥BD于E，則BD與EC存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說明理由.

（3）如圖3，點(diǎn)P是射線BA上A點(diǎn)右邊一動(dòng)點(diǎn)，以CP為斜邊作等腰直角△CPF，其中∠F=90°，點(diǎn)Q為∠FCP與∠CPF的角平分線的交點(diǎn)．當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)Q是否一定在射線BD上？若在，請(qǐng)證明；若不在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

【答案】（1）22.5°；（2）BD=2CE，理由見解析；（3）點(diǎn)Q一定在射線BD上.

【解析】試題分析: （1）通過證明△BDA≌△MCA,得到∠DBA=∠MCA,再根據(jù)BD平分∠ABC得∠ABD＝22.5°，得到∠ACM＝22.5°；

(2)延長(zhǎng)CE交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，通過判定△ABD≌△ACG，得出BD＝CG＝2CE即可；

(3)連接CQ，過點(diǎn)Q作QM⊥BP于M，作QN⊥BC于N，在等腰直角△CPF中，求得∠QCP＝∠QPC＝22.5°，進(jìn)而得出△PQC中，∠PQC＝135°；在四邊形QNBM中，根據(jù)QM⊥BP，QN⊥BC，∠ABC＝45°，得到∠MQN＝135°，進(jìn)而得到∠NQC＝∠MQP，根據(jù)AAS判定△QPM≌△QCN，得出QM＝QN，最后根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理的逆定理，得出點(diǎn)Q一定在射線BD上．

試題解析:

（1）∵∠BAC＝90°，

∴∠CAM=90°,

∴∠BAC＝∠CAM，

又∵AB＝AC，AM=AD，

∴△BDA≌△MCA,

∴∠DBA=∠MCA,

∵BD平分∠ABC,

∴∠ABD＝22.5°，

∴∠ACM ＝22.5°；

故答案為：22.5°．

（2）如圖，延長(zhǎng)CE交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，

∵BD平分∠ABC，CE⊥BD，

∴CE＝GE，

在△ABD與△ACG中，

，

∴△ABD≌△ACG（AAS），

∴BD＝CG＝2CE；

（3）點(diǎn)Q一定在射線BD上，

理由：如圖，連接CQ，過點(diǎn)Q作QM⊥BP于M，作QN⊥BC于N，

∵QF為∠PFC的角平分線，△CPF為等腰直角三角形，

∴QF為PC的垂直平分線，

∴PQ＝QC，

∵Q為∠FPC與∠PFC的角平分線的交點(diǎn)，

∴CQ平分∠FCP，

∵△CPF為等腰直角三角形，

∴∠FCP＝∠FPC＝45°，

∴∠QCP＝∠QPC＝22.5°，

∴△PQC中，∠PQC＝135°，

∵在四邊形QNBM中，QM⊥BP，QN⊥BC，∠ABC＝45°，

∴∠MQN＝135°，

∴∠MQN＝∠PQC，

∴∠NQC＝∠MQP，

又∵QC＝QP，QM⊥BP，QN⊥BC，

∴△QPM≌△QCN（AAS），

∴QM＝QN，

又∵QM⊥BP，QN⊥BC，

∴點(diǎn)Q一定在射線BD上．

點(diǎn)睛: 本題主要考查了三角形的綜合應(yīng)用，解題時(shí)需要運(yùn)用三角形內(nèi)角和定理、等腰直角三角形的性質(zhì)、角平分線的定義以及全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)．解決問題的關(guān)鍵是作輔助線，構(gòu)造全等三角形，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)進(jìn)行推導(dǎo)．解題時(shí)注意：到角兩邊距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線上．