Question

【題目】已知，拋物線y=ax+bx+4與x軸交于點(diǎn)A（-3，0）和B（2，0），與y軸交于點(diǎn)C．

（1）求拋物線的解析式；

（2）如圖1，若點(diǎn)D為CB的中點(diǎn)，將線段DB繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)G，當(dāng)點(diǎn)G恰好落在拋物線的對(duì)稱軸上時(shí)，求點(diǎn)G的坐標(biāo)；

（3）如圖2，若點(diǎn)D為直線BC或直線AC上的一點(diǎn)，E為x軸上一動(dòng)點(diǎn)，拋物線y=ax+bx+4對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)F，使以B，D，F(xiàn)，E為頂點(diǎn)的四邊形為菱形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)F的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）拋物線的解析式為；

（2）點(diǎn)G的坐標(biāo) 或

（3）點(diǎn)F的坐標(biāo)為， ，，

【解析】

試題（1）將A（-3，0）和B（2，0）兩點(diǎn)代入解析式，求出a、b的值，即可求得拋物線的解析式；(2)）設(shè)點(diǎn)G的坐標(biāo)為，過(guò)點(diǎn)D作DH⊥對(duì)稱軸于點(diǎn)H，因點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，可得點(diǎn)D的坐標(biāo)為，，由折疊的性質(zhì)可得DH=DB,根據(jù)勾股定理可得 ，解得y的值,即可得點(diǎn)G的坐標(biāo)；(3)分當(dāng)BE為對(duì)角線和BE為菱形的邊時(shí)兩種情況討論求解即可.

試題解析：

（1）由題意得 ,

解得,

∴

（2）設(shè)點(diǎn)G的坐標(biāo)為

過(guò)點(diǎn)D作DH⊥對(duì)稱軸于點(diǎn)H

∵點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)

∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為，

由折疊得，DH=DB

∴

∴

∴點(diǎn)G的坐標(biāo)為或

（3）①當(dāng)BE為對(duì)角線時(shí)，因?yàn)榱庑蔚膶?duì)角線互相垂直平分，所以此時(shí)D即為對(duì)稱軸與AC的交點(diǎn)，F為點(diǎn)D關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)

設(shè)

∵C，A

∴

∴

∴

∴當(dāng)時(shí)，

∴D

∴F

②當(dāng)BE為菱形的邊時(shí)，有DF∥BE

I)當(dāng)點(diǎn)D在直線BC上時(shí)

易得

設(shè)D，則點(diǎn)F

∵四邊形BDFE是菱形

∴FD=DB

根據(jù)勾股定理得，

解得：，

∴F或

II）當(dāng)點(diǎn)D在直線AC上時(shí)

設(shè)D，則點(diǎn)F

∵四邊形BFDE是菱形

∴FD=FB

根據(jù)勾股定理得，

解得：(舍去)，

∴F

綜上所述，點(diǎn)F的坐標(biāo)分別為：， ，

，