Question

如圖1，點O為直線AB上一點，過O點作射線OC，使∠AOC：∠BOC=1：2，將一直角三角板的直角頂點放在點O處，一邊OM在射線OB上，另一邊ON在直線AB的下方．
（1）將圖1中的三角板繞點O按逆時針方向旋轉(zhuǎn)至圖2的位置，使得ON落在射線OB上，此時三角板旋轉(zhuǎn)的角度為______度；
（2）繼續(xù)將圖2中的三角板繞點O按逆時針方向旋轉(zhuǎn)至圖3的位置，使得ON在∠AOC的內(nèi)部．試探究∠AOM與∠NOC之間滿足什么等量關(guān)系，并說明理由；
（3）在上述直角三角板從圖1旋轉(zhuǎn)到圖3的位置的過程中，若三角板繞點O按15°每秒的速度旋轉(zhuǎn)，當直角三角板的直角邊ON所在直線恰好平分∠AOC時，求此時三角板繞點O的運動時間t的值．

Answer 1

解：（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知，旋轉(zhuǎn)角∠MON=90°．
故答案是：90；

（2）如圖3，∠AOM-∠NOC=30°．
設(shè)∠AOC=α，由∠AOC：∠BOC=1：2可得
∠BOC=2α．
∵∠AOC+∠BOC=180°，
∴α+2α=180°．
解得 α=60°．
即∠AOC=60°．
∴∠AON+∠NOC=60°．①
∵∠MON=90°，
∴∠AOM+∠AON=90°．②
由②-①，得∠AOM-∠NOC=30°；

（3）（ⅰ）如圖4，當直角邊ON在∠AOC外部時，
由OD平分∠AOC，可得∠BON=30°．
因此三角板繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)60°．
此時三角板的運動時間為：
t=60°÷15°=4（秒）．
（ⅱ）如圖5，當直角邊ON在∠AOC內(nèi)部時，
由ON平分∠AOC，可得∠CON=30°．
因此三角板繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)240°．
此時三角板的運動時間為：
t=240°÷15°=16（秒）．
分析：（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知，旋轉(zhuǎn)角是∠MON；
（2）如圖3，利用平角的定義，結(jié)合已知條件“∠AOC：∠BOC=1：2”求得∠AOC=60°；然后由直角的性質(zhì)、圖中角與角間的數(shù)量關(guān)系推知∠AOM-∠NOC=30°；
（3）需要分類討論：（ⅰ）當直角邊ON在∠AOC外部時，旋轉(zhuǎn)角是60°；（ⅱ）當直角邊ON在∠AOC內(nèi)部時，旋轉(zhuǎn)角是240°．
點評：本題綜合考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，角的計算．解答（3）題時，需要分類討論，以防漏解．