Question

已知點(diǎn)A在直角坐標(biāo)系中如圖：
（1）寫出A點(diǎn)的坐標(biāo)，作A點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)A'，連接OA，并求sin∠OAA'的值．
（2）若直線y=mx+3n和雙曲線y=

2m+4n

x

都經(jīng)過A點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)A'，試求m、n的值，并求直線與雙曲線的另一個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱，橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)，求出A′點(diǎn)的坐標(biāo)，再由三角函數(shù)求出sin∠OAA'的值．
（2）由直線和雙曲線的交點(diǎn)，列方程組求出m、n的值，從而求出另一個(gè)交點(diǎn)．

解答：解：（1）A（1，-2）
作AB⊥OX交x軸于點(diǎn)B，并延長到A′是BA′=BA，則A′是A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)，連接OA如圖，在Rt△ABO中，OB=1，AB=2，
則OA=

AB2+OA2

=

5

，sin∠OAA'=

OR

OA

=

1

5

=

5

5

；

（2）點(diǎn)A關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)A′（1，2），
由題意得

m+3n=2① 2m+4n=2②

，
①×2-②得：2n=2，n=1，
把n=1代入①得：m=-1，
直線為：y=-x-3    ③，
雙曲線為y=

2

x

④
由③④得：-x+3=

2

x

，x²-3x+2=0，
解得：x₁=1，x₂=2，
當(dāng)x=2時(shí)，y=1，∴直線與雙曲線的另一個(gè)交點(diǎn)為（2，1）．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)的應(yīng)用，題中運(yùn)用點(diǎn)的對(duì)稱和方程組的方法解決三角函數(shù)問題．