【題目】已知:如圖,△ABC是邊長為3cm的等邊三角形,動點P、Q同時從A、B兩點出發(fā),分別沿AB、BC方向勻速移動,它們的速度都是1cm/s,當(dāng)點P到達點B時,P、Q兩點停止運動,設(shè)點P的運動時間t(s),解答下列各問題:
(1)經(jīng)過 秒時,求△PBQ的面積;
(2)當(dāng)t為何值時,△PBQ是直角三角形?
(3)是否存在某一時刻t,使四邊形APQC的面積是△ABC面積的三分之二?如果存在,求出t的值;不存在請說明理由.
【答案】
(1)解:經(jīng)過 秒時,AP= cm,BQ= cm,
∵△ABC是邊長為3cm的等邊三角形,
∴AB=BC=3cm,∠B=60°,
∴BP=3﹣ = cm,
∴△PBQ的面積= BPBQsin∠B= × × × =
(2)解:設(shè)經(jīng)過t秒△PBQ是直角三角形,
則AP=tcm,BQ=tcm,
△ABC中,AB=BC=3cm,∠B=60°,
∴BP=(3﹣t)cm,
△PBQ中,BP=(3﹣t)cm,BQ=tcm,若△PBQ是直角三角形,則∠BQP=90°或∠BPQ=90°,
當(dāng)∠BQP=90°時,BQ= BP,
即t= (3﹣t),t=1(秒),
當(dāng)∠BPQ=90°時,BP= BQ,
3﹣t= t,t=2(秒),
答:當(dāng)t=1秒或t=2秒時,△PBQ是直角三角形
(3)解:過P作PM⊥BC于M,
△BPM中,sin∠B= ,
∴PM=PBsin∠B= (3﹣t),
∴S△PBQ= BQPM= t (3﹣t),
∴y=S△ABC﹣S△PBQ= ×32× ﹣ ×t× (3﹣t)
= t2﹣ t+ ,
∴y與t的關(guān)系式為y= t2﹣ t+ ,
假設(shè)存在某一時刻t,使得四邊形APQC的面積是△ABC面積的 ,
則S四邊形APQC= S△ABC,
∴ t2﹣ t+ = × ×32× ,
∴t2﹣3t+3=0,
∵(﹣3)2﹣4×1×3<0,
∴方程無解,
∴無論t取何值,四邊形APQC的面積都不可能是△ABC面積的 .
【解析】(1)根據(jù)路程=速度×?xí)r間,求出BQ,AP的值,再求出BP的值,然后利用三角形的面積公式進行解答即可;(2)①∠BPQ=90°;②∠BQP=90°.然后在直角三角形BQP中根據(jù)BP,BQ的表達式和∠B的度數(shù)進行求解即可.(3)本題可先用△ABC的面積﹣△PBQ的面積表示出四邊形APQC的面積,即可得出y,t的函數(shù)關(guān)系式,然后另y等于三角形ABC面積的三分之二,可得出一個關(guān)于t的方程,如果方程無解則說明不存在這樣的t值,如果方程有解,那么求出的t值即可
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】若方程(a-2)x2-2018x+2019=0是關(guān)于x的一元二次方程,則( )
A.a≠1B.a≠-2C.a≠2D.a≠3
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,拋物線與y軸交于點A(0,- ),與x軸交于B、C兩點,其對稱軸與x軸交于點D,直線l∥AB且過點D.
(1)求AB所在直線的函數(shù)表達式;
(2)請你判斷△ABD的形狀并證明你的結(jié)論;
(3)點E在線段AD上運動且與點A、D不重合,點F在直線l上運動,且∠BEF=60°,連接BF,求出△BEF面積的最小值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】“囧”(jiǒng).經(jīng)是一個風(fēng)靡網(wǎng)絡(luò)的流行詞,像一個人臉郁悶的神情.如圖所示,一張邊長為20cm的正方形的紙片,剪去兩個一樣的小直角三角形和一個長方形得到一個“囧”字圖案(陰影部分).設(shè)剪去的小長方形長和寬分別為xcm、ycm.剪去的兩個小直角三角形的兩宜角邊長也分別為xcm,ycm.
(1)用含有x,y的代數(shù)式表示圖中“囧”(陰影部分)的面積;
(2)當(dāng)x=8cm,y=6cm時,求此時“囧”(陰影部分)的面積.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某商店有兩種進價不同的計算機都賣了64元,其中一個贏利60%,另一個虧本20%,在這次買賣中這家商店( )
A. 不賠不賺 B. 賺了8元 C. 賠了8元 D. 賺了32元
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