Question

【題目】如圖，已知O（0，0）、A（4，0）、B（4，3）．動點(diǎn)P從O點(diǎn)出發(fā)，以每秒3個單位的速度，沿△OAB的邊OA、AB、BO作勻速運(yùn)動；動直線l從AB位置出發(fā)，以每秒1個單位的速度向x軸負(fù)方向作勻速平移運(yùn)動．若它們同時出發(fā)，運(yùn)動的時間為t秒，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動到O時，它們都停止運(yùn)動．
（1）當(dāng)P在線段OA上運(yùn)動時，求直線l與以P為圓心、1為半徑的圓相交時t的取值范圍；
（2）當(dāng)P在線段AB上運(yùn)動時，設(shè)直線l分別與OA、OB交于C、D，試問：四邊形CPBD是否可能為菱形？若能，求出此時t的值；若不能，請說明理由，并說明如何改變直線l的出發(fā)時間，使得四邊形CPBD會是菱形．

Answer 1

【答案】
（1）解：當(dāng)P在線段OA上運(yùn)動時，OP=3t，AC=t，

⊙P與直線l相交時， ，

解得 ＜t＜

（2）解：四邊形CPBD不可能為菱形．

依題意，得AC=t，OC=4﹣t，PA=3t﹣4，PB=7﹣3t，

∵CD∥AB，

∴ = ，即 = ，

解得CD= （4﹣t），

由菱形的性質(zhì)，得CD=PB，

即 （4﹣t）=7﹣3t，

解得t= ，

又當(dāng)四邊形CPBD為菱形時，PC=PB=7﹣3t，當(dāng)t= 時，

代入PA2+AC2=（3t﹣4）2+t2= ，PC2=（7﹣3t）2= ，

∴PA2+AC2≠PC2，就不能構(gòu)成菱形．

設(shè)直線l比P點(diǎn)遲a秒出發(fā)，則AC=t﹣a，OC=4﹣t+a，

由CD∥AB，得CD= （4﹣t+a），由CD=PB，得 （4﹣t+a）=7﹣3t，

解得t= ，

PC∥OB，PC=CD，得 = ，即ABPC=OBAP，

3× （4﹣t+a）=5×（3t﹣4），

解得t= ，

則 = ，

解得a= ，即直線l比P點(diǎn)遲 秒出發(fā)．

【解析】（1）根據(jù)點(diǎn)P與直線l的距離d＜1分為點(diǎn)P在直線l的左邊和右邊，分別表示距離，列不等式組求范圍；（2）四邊形CPBD不可能為菱形．依題意可得AC=t，OC=4﹣t，PA=3t﹣4，PB=7﹣3t，由CD∥AB，利用相似比表示CD，由菱形的性質(zhì)得CD=PB可求t的值，又當(dāng)四邊形CPBD為菱形時，PC=PB=7﹣3t，把t代入PA2+AC2 ， PC2中，看結(jié)果是否相等如果結(jié)果不相等，就不能構(gòu)成菱形．設(shè)直線l比P點(diǎn)遲a秒出發(fā)，則AC=t﹣a，OC=4﹣t+a，再利用平行線表示CD，根據(jù)CD=PB，PC∥OB，得相似比，分別表示t，列方程求a即可．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了解一元一次方程的步驟和勾股定理的概念的相關(guān)知識點(diǎn)，需要掌握先去分母再括號，移項(xiàng)變號要記牢．同類各項(xiàng)去合并，系數(shù)化“1”還沒好．求得未知須檢驗(yàn)，回代值等才算了；直角三角形兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方,即;a2+b2=c2才能正確解答此題．