Question

已知，如圖：在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)D是直線y=-x上一點(diǎn)，過O、D兩點(diǎn)的圓⊙O₁分別交x軸、y軸于點(diǎn)A和B．
（1）當(dāng)A（-12，0），B（0，-5）時(shí)，求O₁的坐標(biāo)；

（2）在（1）的條件下，過點(diǎn)A作⊙O₁的切線與BD的延長線相交于點(diǎn)C，求點(diǎn)C的坐標(biāo)；

（3）若點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為-

7

2

，點(diǎn)I為△ABO的內(nèi)心，IE⊥AB于E，當(dāng)過O、D兩點(diǎn)的⊙O₁的大小發(fā)生變化時(shí)，其結(jié)論：AE-BE的值是否發(fā)生變化？若不變，請求出其值；若變化，請求出變化范圍．

Answer 1

分析：（1）連接AB，過點(diǎn)O₁作O₁K⊥OA于點(diǎn)K，由∠AOB=90°，可知：AB過圓心O₁，已知點(diǎn)A，點(diǎn)B的坐標(biāo)，O₁A=O₁B，則O₁K=

1

2

OB，OK=

1

2

OA，從而可將點(diǎn)O₁的坐標(biāo)求出；
（2）證△ACH≌△BAO，得CH=OA，OH=AO-OB，從而可將點(diǎn)C的坐標(biāo)求出；
（3）作輔助線，作DN⊥X軸于N，DM⊥Y軸于M，可知：四邊形DMON為正方形，通過證明△ADN≌△BDM，得AN=BM，故AE-BEAG-BF=（OA-OG）-（OB-OF）=OA-OB=（AN+OG）-（AN-MO）=OG+OM=7為定值．

解答：解：（1）連接AB，過點(diǎn)O₁作O₁K⊥OA于點(diǎn)K，
∵∠AOB=90°，
∴AB經(jīng)過圓心O₁，
∵A（-12，0），B（0，-5），O₁K⊥O₁A，O₁A=O₁B，
∴O₁K=

1

2

OB=2.5，OK=

1

2

OA=

1

2

×12=6，
∴O₁（-6，-2.5）；

（2）過點(diǎn)C作CH⊥x軸于點(diǎn)H，連接AD、AB，
∵AC為⊙O₁的切線
∴∠CAB=90°，
∵直線OD解析式為y=-x，
∴∠AOD=∠ABD=45°，
∴△ABC為等腰直角三角形，
∴AC=AB，
∵AC為⊙O₁的切線，
∴∠CAH=∠ABO，
∵∠CHA=∠AOB=90°，AC=AB，
∴△ACH≌△BAO，
∴CH=OA=12，OH=AO-OB=12-5=7，
∴點(diǎn)C（-7，12）；

（3）D是直線y=-x上一點(diǎn)，作DN⊥X軸于N，DM⊥Y軸于M，
DM=DN=NO=MO，G、F分別是與X軸、Y軸的切點(diǎn)，由AE=AG，BE=BF，IG=OG=OF=IF，
∵∠ADN+∠NDB=90°，∠BDM+∠NDB=90°
∴∠ADN=∠BDM，
∵∠ADN=∠BDM，ND=DM，∠AND=∠BMD=90°
∴△ADN≌△BDM，
∴AN=BM，
∴AE-BE=AG-BF，
=（OA-OG）-（OB-OF）
=OA-OB
=（AN+ON）-（AN-MO）
=ON+OM
=

7

2

+

7

2

=7．

點(diǎn)評：此題作為壓軸題，綜合考圓的切線，三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心，全等三角形的判定等知識．此題是一個(gè)大綜合題，難度較大，有利于培養(yǎng)同學(xué)們的鉆研精神和堅(jiān)韌不拔的意志品質(zhì)．