【題目】 如圖,四邊形ABCD內(nèi)接于以BC為直徑的圓,圓心為O,且AB=AD,延長(zhǎng)CB、DA交于P,過(guò)C點(diǎn)作PD的垂線交PD的延長(zhǎng)線于E,且PB=BO,連接OA.
(1)求證:OA∥CD;
(2)求線段BC:DC的值;
(3)若CD=18,求DE的長(zhǎng).
【答案】(1)詳見(jiàn)解析;(2);(3)DE=.
【解析】
(1)連接BD,由圓周角定理可知∠BDC=90°,即CD⊥BD,再由AB=AD可知,則OA⊥BD,由此即可得出結(jié)論;
(2)設(shè)⊙O的半徑為r,則PB=OB=OC=OA=r,再由OA∥CD可知,△OAP∽△CDP,故可得出=,故可用r表示出CD的長(zhǎng),再求出BC:DC的值即可;
(3)由OF∥CD,OB=OC根據(jù)中位線定理可以求出OF,AF;再根據(jù)勾股定理在Rt△DBC中可以求出BD,DF;接著在Rt△ADF中求出AD;然后利用平行線的性質(zhì)得∠FAD=∠CDE證明△AFD∽△DEC,利用相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例可以求出DE.
(1)證明:連接BD,交OA于點(diǎn)F.
∵BC是⊙O的直徑,
∴∠BDC=90°,即CD⊥BD,
∵AB=AD,
∴
∴OA⊥BD,
∴OA∥CD;
(2)解:設(shè)⊙O的半徑為r,
∵PB=OB,
∴PB=OB=OC=OA=r,
∵OA∥CD,
∴△OAP∽△CDP,
∴=,=,解得CD=,
∴==;
(3)解:∵CD=18, CD=,∴r=12
∵OF∥CD,==,
∴OF=9,AF=3;
∵BD==6,
∴DF=BD=3,
∴AD==6;
∵∠AFD=∠DEC=90°,OA∥DC,∠FAD=∠CDE,
∴△AFD∽△DEC,
∴=,即=;
∴DE=.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖是二次函數(shù)y=ax2+bx+c圖象的一部分,其對(duì)稱軸是x=﹣1,且過(guò)點(diǎn)(﹣3,0),下列說(shuō)法:①abc<0;②2a﹣b=0;③4a+2b+c<0;④若(﹣5,y1),(3,y2)是拋物線上兩點(diǎn),則y1<y2,其中說(shuō)法正確的是( 。
A.①②B.②③C.①②④D.②③④
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知:△ABC是等邊三角形,點(diǎn)D是△ABC(包含邊界)平面內(nèi)一點(diǎn),連接CD,將線段CD繞C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段CE,連接BE,DE,AD,并延長(zhǎng)AD交BE于點(diǎn)P.
(1)觀察填空:當(dāng)點(diǎn)D在圖1所示的位置時(shí),填空:
①與△ACD全等的三角形是______.
②∠APB的度數(shù)為______.
(2)猜想證明:在圖1中,猜想線段PD,PE,PC之間有什么數(shù)量關(guān)系?并證明你的猜想.
(3)拓展應(yīng)用:如圖2,當(dāng)△ABC邊長(zhǎng)為4,AD=2時(shí),請(qǐng)直接寫出線段CE的最大值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某社區(qū)組織“獻(xiàn)愛(ài)心”捐款活動(dòng),并對(duì)部分捐款戶數(shù)進(jìn)行調(diào)查和分組統(tǒng)計(jì),數(shù)據(jù)整理成如下統(tǒng)計(jì)圖表(圖中信息不完整).
捐款戶數(shù)分組統(tǒng)計(jì)表
組別 | 捐款額(x)元 | 戶數(shù) |
A | 1≤x<100 | 2 |
B | 100≤x<200 | 10 |
C | 200≤x<300 | c |
D | 300≤x<400 | d |
E | x≥400 | e |
請(qǐng)結(jié)合以上信息解答下列問(wèn)題:
(1)本次調(diào)查的樣本容量是______;
(2)d=______,并補(bǔ)全圖1;
(3)圖2中,“B”所對(duì)應(yīng)扇形的圓心角為______度;
(4)若該社區(qū)有500戶住戶,根據(jù)以上信息估計(jì)全社區(qū)捐款不少于300元的戶數(shù)是______.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】 如圖,在矩形ABCD中,點(diǎn)N為邊BC上不與B、C重合的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)N作MN⊥BC交AD于點(diǎn)M,交BD于點(diǎn)E,以MN為對(duì)稱軸折疊矩形ABNM,點(diǎn)A、B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是G、F,連接EF、DF,若AB=6,BC=8,當(dāng)△DEF為直角三角形時(shí),CN的長(zhǎng)為______.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】《九章算術(shù)》是我國(guó)古代第一部自成體系的數(shù)學(xué)專著,代表了東方數(shù)學(xué)的最高成就.它的算法體系至今仍在推動(dòng)著計(jì)算機(jī)的發(fā)展和應(yīng)用.書中記載:“今有圓材埋在壁中,不知大小,以鋸鋸之,深一寸,鋸道長(zhǎng)一尺,問(wèn)徑幾何?”譯為:“今有一圓柱形木材,埋在墻壁中,不知其大小,用鋸去鋸這木材,鋸口深1寸(ED=1寸),鋸道長(zhǎng)1尺(AB=1尺=10寸)”,問(wèn)這塊圓形木材的直徑是多少?”
如圖所示,請(qǐng)根據(jù)所學(xué)知識(shí)計(jì)算:圓形木材的直徑AC是( )
A. 13寸 B. 20寸 C. 26寸 D. 28寸
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,AB是⊙O的直徑,弦CD⊥AB,垂足為M,下列結(jié)論不一定成立的是( )
A.CM=DMB.
C.△OCM≌△ODMD.OM=MB
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知,拋物線y=ax2﹣4ax+2a(a≠0)
(1)求拋物線的對(duì)稱軸;
(2)若拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(m,y1),B(n,y2),其中﹣4<m≤﹣3,2<n≤3,請(qǐng)依據(jù)a的取值情況直接寫出y1與y2的大小關(guān)系;
(3)若矩形CDEF的頂點(diǎn)分別為C(1,2),D(1,﹣4),E(5,﹣4),F(5,2),若該拋物線與矩形的邊有且只有兩個(gè)公共點(diǎn)(包括矩形的頂點(diǎn)),求a的取值范圍.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知:如圖,在Rt△ACB中,∠C=90°,BC=3cm,AC=3cm,點(diǎn)P由B點(diǎn)出發(fā)沿BA方向向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng),速度為2cm/s;點(diǎn)Q由A點(diǎn)出發(fā)沿AC方向向點(diǎn)C勻速運(yùn)動(dòng),速度為cm/s;若設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t(s)(0<t<3),解答下列問(wèn)題:
(1)如圖①,連接PC,當(dāng)t為何值時(shí)△APC∽△ACB,并說(shuō)明理由;
(2)如圖②,當(dāng)點(diǎn)P,Q運(yùn)動(dòng)時(shí),是否存在某一時(shí)刻t,使得點(diǎn)P在線段QC的垂直平分線上,請(qǐng)說(shuō)明理由;
(3)如圖③,當(dāng)點(diǎn)P,Q運(yùn)動(dòng)時(shí),線段BC上是否存在一點(diǎn)G,使得四邊形PQGB為菱形?若存在,試求出BG長(zhǎng);若不存在請(qǐng)說(shuō)明理由.
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