（如圖1），點(diǎn)P將線(xiàn)段AB分成一條較小線(xiàn)段AP和一條較大線(xiàn)段BP，如果，那么稱(chēng)點(diǎn)P為線(xiàn)段AB的黃金分割點(diǎn)，設(shè)=k，則k就是黃金比，并且k≈0.618．

（1）以圖1中的AP為底，BP為腰得到等腰△APB（如圖2），等腰△APB即為黃金三角形，黃金三角形的定義為：滿(mǎn)足≈0.618的等腰三角形是黃金三角形；類(lèi)似地，請(qǐng)你給出黃金矩形的定義：______；
（2）如圖1，設(shè)AB=1，請(qǐng)你說(shuō)明為什么k約為0.618；
（3）由線(xiàn)段的黃金分割點(diǎn)聯(lián)想到圖形的“黃金分割線(xiàn)”，類(lèi)似地給出“黃金分割線(xiàn)”的定義：直線(xiàn)l將一個(gè)面積為S的圖形分成面積為S1和面積為S2的兩部分（設(shè)S1＜S2），如果，那么稱(chēng)直線(xiàn)l為該圖形的黃金分割線(xiàn)．（如圖3），點(diǎn)P是線(xiàn)段AB的黃金分割點(diǎn)，那么直線(xiàn)CP是△ABC的黃金分割線(xiàn)嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由；
（4）圖3中的△ABC的黃金分割線(xiàn)有幾條？
【答案】分析：（1）類(lèi)比黃金三角形的定義進(jìn)行定義；
（2）（3）根據(jù)線(xiàn)段黃金分割點(diǎn)的概念和三角形的面積公式進(jìn)行分析；
（4）根據(jù)（2）中的結(jié)論，得到這樣的直線(xiàn)有無(wú)數(shù)條．
解答：解：
（1）滿(mǎn)足≈0.618的矩形是黃金矩形；

（2）由=k得，BP=1×k=k，從而AP=1-k，
由得，BP2=AP×AB，
即k2=（1-k）×1，
解得k=，
∵k＞0，
∴k=≈0.618；

（3）因?yàn)辄c(diǎn)P是線(xiàn)段AB的黃金分割點(diǎn)，所以，
設(shè)△ABC的AB上的高為h，則
，
∴
∴直線(xiàn)CP是△ABC的黃金分割線(xiàn)．

（4）由（2）知，在BC邊上也存在這樣的黃金分割點(diǎn)Q，則AQ也是黃金分割線(xiàn)，設(shè)AQ與CP交于點(diǎn)W，則過(guò)點(diǎn)W的直線(xiàn)均是△ABC的黃金分割線(xiàn)，故黃金分割線(xiàn)有無(wú)數(shù)條．
點(diǎn)評(píng)：注意線(xiàn)段的黃金分割點(diǎn)的概念的延伸，能夠根據(jù)黃金分割的定義結(jié)合三角形的面積進(jìn)行分析證明．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（如圖1），點(diǎn)P將線(xiàn)段AB分成一條較小線(xiàn)段AP和一條較大線(xiàn)段BP，如果
AP
BP
=
BP
AB
，那么稱(chēng)點(diǎn)P為線(xiàn)段AB的黃金分割點(diǎn)，設(shè)
AP
BP
=
BP
AB
=k，則k就是黃金比，并且k≈0.618．
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（1）以圖1中的AP為底，BP為腰得到等腰△APB（如圖2），等腰△APB即為黃金三角形，黃金三角形的定義為：滿(mǎn)足
底
腰
=
腰
底+腰
≈0.618的等腰三角形是黃金三角形；類(lèi)似地，請(qǐng)你給出黃金矩形的定義：
 
；
（2）如圖1，設(shè)AB=1，請(qǐng)你說(shuō)明為什么k約為0.618；
（3）由線(xiàn)段的黃金分割點(diǎn)聯(lián)想到圖形的“黃金分割線(xiàn)”，類(lèi)似地給出“黃金分割線(xiàn)”的定義：直線(xiàn)l將一個(gè)面積為S的圖形分成面積為S1和面積為S2的兩部分（設(shè)S1＜S2），如果
S1
S2
=
S2
S
，那么稱(chēng)直線(xiàn)l為該圖形的黃金分割線(xiàn)．（如圖3），點(diǎn)P是線(xiàn)段AB的黃金分割點(diǎn)，那么直線(xiàn)CP是△ABC的黃金分割線(xiàn)嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由；
（4）圖3中的△ABC的黃金分割線(xiàn)有幾條？

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

8、如圖，已知點(diǎn)D是△ABC中BC邊上的一點(diǎn)，線(xiàn)段AD將△ABC分為面積相等的兩部分，則線(xiàn)段AD是△ABC的一條（　　）

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，已知：△ABC為邊長(zhǎng)是4
3
的等邊三角形，四邊形DEFG為邊長(zhǎng)是6的正方形．現(xiàn)將等邊△ABC和正方形DEFG按如圖1的方式擺放，使點(diǎn)C與點(diǎn)E重合，點(diǎn)B、C（E）、F在同一條直線(xiàn)上，△ABC從圖1的位置出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿EF方向向右勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)F重合時(shí)暫停運(yùn)動(dòng)，設(shè)△ABC的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（t≥0）．

（1）在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，設(shè)等邊△ABC和正方形DEFG重疊部分的面積為S，請(qǐng)直接寫(xiě)出S與t之間的函數(shù)關(guān)系式；
（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)A與點(diǎn)D重合時(shí)，作∠ABE的角平分線(xiàn)BM交AE于M點(diǎn)，將△ABM繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使邊AB與邊AC重合，得到△ACN．在線(xiàn)段AG上是否存在H點(diǎn)，使得△ANH為等腰三角形．如果存在，請(qǐng)求出線(xiàn)段EH的長(zhǎng)度；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
（3）如圖3，若四邊形DEFG為邊長(zhǎng)為4
3
的正方形，△ABC的移動(dòng)速度為每秒
3
個(gè)單位長(zhǎng)度，其余條件保持不變．△ABC開(kāi)始移動(dòng)的同時(shí)，Q點(diǎn)從F點(diǎn)開(kāi)始，沿折線(xiàn)FG-GD以每秒2
3
個(gè)單位長(zhǎng)度開(kāi)始移動(dòng)，△ABC停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，Q點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，DE交折線(xiàn)BA-AC于P點(diǎn)，則是否存在t的值，使得PC⊥EQ，若存在，請(qǐng)求出t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：初中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：解答題

（如圖1），點(diǎn)P將線(xiàn)段AB分成一條較小線(xiàn)段AP和一條較大線(xiàn)段BP，如果數(shù)學(xué)公式，那么稱(chēng)點(diǎn)P為線(xiàn)段AB的黃金分割點(diǎn)，設(shè)數(shù)學(xué)公式=k，則k就是黃金比，并且k≈0.618．

（1）以圖1中的AP為底，BP為腰得到等腰△APB（如圖2），等腰△APB即為黃金三角形，黃金三角形的定義為：滿(mǎn)足數(shù)學(xué)公式≈0.618的等腰三角形是黃金三角形；類(lèi)似地，請(qǐng)你給出黃金矩形的定義：______；
（2）如圖1，設(shè)AB=1，請(qǐng)你說(shuō)明為什么k約為0.618；
（3）由線(xiàn)段的黃金分割點(diǎn)聯(lián)想到圖形的“黃金分割線(xiàn)”，類(lèi)似地給出“黃金分割線(xiàn)”的定義：直線(xiàn)l將一個(gè)面積為S的圖形分成面積為S1和面積為S2的兩部分（設(shè)S1＜S2），如果數(shù)學(xué)公式，那么稱(chēng)直線(xiàn)l為該圖形的黃金分割線(xiàn)．（如圖3），點(diǎn)P是線(xiàn)段AB的黃金分割點(diǎn)，那么直線(xiàn)CP是△ABC的黃金分割線(xiàn)嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由；
（4）圖3中的△ABC的黃金分割線(xiàn)有幾條？

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