Question

如圖，已知：△ABC為邊長(zhǎng)是4

3

的等邊三角形，四邊形DEFG為邊長(zhǎng)是6的正方形．現(xiàn)將等邊△ABC和正方形DEFG按如圖1的方式擺放，使點(diǎn)C與點(diǎn)E重合，點(diǎn)B、C（E）、F在同一條直線上，△ABC從圖1的位置出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿EF方向向右勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)C與點(diǎn)F重合時(shí)暫停運(yùn)動(dòng)，設(shè)△ABC的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（t≥0）．

（1）在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，設(shè)等邊△ABC和正方形DEFG重疊部分的面積為S，請(qǐng)直接寫出S與t之間的函數(shù)關(guān)系式；
（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)A與點(diǎn)D重合時(shí)，作∠ABE的角平分線BM交AE于M點(diǎn)，將△ABM繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使邊AB與邊AC重合，得到△ACN．在線段AG上是否存在H點(diǎn)，使得△ANH為等腰三角形．如果存在，請(qǐng)求出線段EH的長(zhǎng)度；若不存在，請(qǐng)說明理由．
（3）如圖3，若四邊形DEFG為邊長(zhǎng)為4

3

的正方形，△ABC的移動(dòng)速度為每秒

3

個(gè)單位長(zhǎng)度，其余條件保持不變．△ABC開始移動(dòng)的同時(shí)，Q點(diǎn)從F點(diǎn)開始，沿折線FG-GD以每秒2

3

個(gè)單位長(zhǎng)度開始移動(dòng)，△ABC停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，Q點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)在運(yùn)動(dòng)過程中，DE交折線BA-AC于P點(diǎn)，則是否存在t的值，使得PC⊥EQ，若存在，請(qǐng)求出t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

分析：（1）分兩種情況利用三角形的面積公式可以表示出0≤t＜2

3

時(shí)重疊部分的面積，當(dāng)2

3

≤t≤6時(shí)用S_△ABC-

(4 3 -t)(4 3 -t)  3

2

就可以求出重疊部分的面積．
（2）當(dāng)點(diǎn)A與點(diǎn)D重合時(shí)，BE=CE=2

3

，再由條件可以求出AN的值，分三種情況討論求出EH的值，①AN=AH=4時(shí)，②AN=NH=4時(shí)，此時(shí)H點(diǎn)在線段AG的延長(zhǎng)線上，③AH=NH時(shí)，此時(shí)H點(diǎn)為線段AG的中垂線與AG的交點(diǎn)，從而可以求出答案．
（3）再運(yùn)動(dòng)中當(dāng)0≤t＜2時(shí)，如圖2，△PEC∽△EFQ，可以提出t值；當(dāng)2≤t≤4時(shí)，如圖3，△PEC∽△QDF，可以提出t值．

解答：解：（1）當(dāng)0≤t＜2

3

時(shí)，S=

3

2

t2
當(dāng)2

3

≤t≤6時(shí)，S=-

3

2

t2+12t-12

3

．
（2）當(dāng)點(diǎn)A與點(diǎn)D重合時(shí)，BE=CE=2

3

，
∵BM平分∠ABE，
∴∠MBE=

1

2

∠ABE=30°
∴ME=2，
∵∠ABM=∠BAM，
∴AM=BM=4，
∵△ABM≌△ACN，
∴∠CAN=30°，AN=4
①AN=AH=4時(shí)，EH=

AE2+AH2

=2

13

，
②AN=NH=4時(shí)，此時(shí)H點(diǎn)在線段AG的延長(zhǎng)線上，∴舍去，
③AH=NH時(shí)，此時(shí)H點(diǎn)為線段AN的中垂線與AG的交點(diǎn)，如圖1，
∴AK=

1

2

AN=2，AH=

AK

cos∠HAK

=

4

3

3

∴EH=

AE2+AH2

=

2

3

93

．
（3）當(dāng)0≤t＜2時(shí)，如圖2，△PEC∽△EFQ，
∴

PE

EF

=

EC

QF

，
∴

3t

4 3

=

3 t

2 3 t

，
∴t=

2

3

3

；
當(dāng)2≤t≤4時(shí)，如圖3，△PEC∽△QDE，
∴

PE

DQ

=

EC

DE

，
∴

12-3t

8 3 -2 3 t

=

3 t

4 3

，
∴

3

t2-(6+4

3

)t+24=0
∴(

3

t-6)(t-4)=0，
∴t₁=4，t2=2

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了求函數(shù)的解析式，正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理的運(yùn)用．