Question

兩個正三角形內(nèi)接于一個半徑為R的⊙O，設(shè)它的公共面積為S，則2S與

3

r2的大小關(guān)系是

 

．

Answer 1

分析：根據(jù)正三角形和圓的關(guān)系可以得到整個圖形關(guān)于OM，ON對稱，確定△AMN的周長，求出△AMN的面積的最小值，用同樣的方法求出△BPQ，△CRS的面積的最小值，然后用△ABC的面積減去這三個三角形的面積得到兩個正三角形的公共部分的面積．

解答：解：如圖：整個圖形關(guān)于OM對稱，關(guān)于ON也對稱
∴AM=B₁M，AN=A₁N，
故AM+MN+NA=A1B1=

3

r，
∴△AMN的周長為定值

3

r，
故S△AMN≤

3

4

•(

3

3

r)2=

3

12

r2，
同理，S△BPQ≤

3

12

r2，S△CRS≤

3

12

r2，
故S△ABC-S△AMN-S△BPQ-S△CRS≥

3

4

•(

3

r)2-

3

12

r2•3，
∴S≥

3

2

r2?2S≥

3

r2．
故答案是：2S≥

3

r²．

點(diǎn)評：本題考查的是正多邊形和圓，根據(jù)正三角形和圓的關(guān)系求出△AMN的周長，計(jì)算出它的面積的最小值，然后用同樣的方法求出另兩個三角形的面積，結(jié)合圖形計(jì)算求出公共部分的面積．