Question

【題目】 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，AC=BC，OA=1，OC=4，拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過A，B兩點(diǎn)．

（1）求拋物線的解析式；

（2）點(diǎn)E是直角△ABC斜邊AB上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)A、B除外），過點(diǎn)E作x軸的垂線交拋物線于點(diǎn)F，當(dāng)線段EF的長度最大時(shí)，求點(diǎn)E、F的坐標(biāo)；

（3）在（2）的條件下：在拋物線上是否存在一點(diǎn)P，使△EFP是以EF為直角邊的直角三角形？若存在，請求出所有點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=x2﹣2x﹣3；（2）點(diǎn)E（，），F（，）；（3）存在，P1（，），P2（，），P3（，）．

【解析】

（1）根據(jù)AC=BC，求出BC的長，進(jìn)而得到點(diǎn)A，B的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可求得拋物線的解析式；
（2）利用待定系數(shù)法求出直線AB的解析式，用含m的式表示出E，F的坐標(biāo)，求出EF的長度最大時(shí)m的值，即可求得E，F的坐標(biāo)；
（3）分兩種情況：∠E-90°和∠F=90°，分別得到點(diǎn)P的縱坐標(biāo)，將縱坐標(biāo)代入拋物線解析式，即可求得點(diǎn)P的值．

解：（1）∵OA=1，OC=4，AC=BC，

∴BC=5，

∴A（﹣1，0），B（4，5），

拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過A，B兩點(diǎn)，

∴，解得：，

∴y=x2﹣2x﹣3；

（2）設(shè)直線AB解析式為：y=kx+b，

直線經(jīng)過點(diǎn)A，B兩點(diǎn)，

∴，解得：，

∴直線AB的解析式為：y=x+1，

設(shè)點(diǎn)E的坐標(biāo)為（m，m+1），則點(diǎn)F（m，m2﹣2m﹣3），

∴EF=m+1﹣m2+2m+3=﹣m2+3m+4=﹣（m﹣）2+，

∴當(dāng)EF最大時(shí)，m=，

∴點(diǎn)E（，），F（，）；

（3）存在．

①當(dāng)∠FEP=90°時(shí)，點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為，

即x2﹣2x﹣3=，解得：x1=，x2=，

∴點(diǎn)P1（，），P2（，），

②當(dāng)∠EFP=90°時(shí)，點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為，

即x2﹣2x﹣3=，解得：x1=，x2=（舍去），

∴點(diǎn)P3（，），

綜上所述，P1（，），P2（，），P3（，）．