【題目】已知O為坐標(biāo)原點(diǎn),拋物線y1=ax2+bx+c(a≠0)與x軸相交于點(diǎn)A(x1,0),B(x2,0),與y軸交于點(diǎn)C,且O,C兩點(diǎn)間的距離為3,x1x2<0,|x1|+|x2|=4,點(diǎn)A,C在直線y2=﹣3x+t上.

(1)當(dāng)y1隨著x的增大而增大時(shí),求自變量x的取值范圍;

(2)將拋物線y1向左平移n(n>0)個(gè)單位,記平移后y隨著x的增大而增大的部分為P,直線y2向下平移n個(gè)單位,當(dāng)平移后的直線與P有公共點(diǎn)時(shí),求2n2﹣5n的最小值.

【答案】(1)若c=3,當(dāng)yx增大而增大時(shí),x≤﹣1;若c=﹣3,當(dāng)yx增大而增大時(shí),x≥1;(2)當(dāng)n=時(shí),2n2﹣5n的最小值為

【解析】

(1)分別利用①若C(0,3),即c=3,以及②若C(0,-3),即c=-3,得出A,B點(diǎn)坐標(biāo),進(jìn)而求出函數(shù)解析式,進(jìn)而得出答案;

(2)利用①若c=3,則y1=-x2-2x+3=-(x+1)2+4,y2=-3x+3,得出y1向左平移n個(gè)單位后,則解析式為:y3=-(x+1+n)2+4,進(jìn)而求出平移后的直線與P有公共點(diǎn)時(shí)得出n的取值范圍,②若c=-3,則y1=x2-2x-3=(x-1)2-4,y2=-3x-3,y1向左平移n個(gè)單位后,則解析式為:y3=(x-1+n)2-4,進(jìn)而求出平移后的直線與P有公共點(diǎn)時(shí)得出n的取值范圍,進(jìn)而利用配方法求出函數(shù)最值.

(1)∵x1x2<0,

x1,x2異號(hào),

①若C(0,3),即c=3,

C(0,3)代入y2=﹣3x+t,則0+t=3,即t=3,

y2=﹣3x+3,

A(x1,0)代入y2=﹣3x+3,則﹣3x1+3=0,

x1=1,

A(1,0),

x1,x2異號(hào),x1=1>0,x2<0,

|x1|+|x2|=4,

1﹣x2=4,

解得:x2=﹣3,則B(﹣3,0),

代入y1=ax2+bx+3得,,

解得:,

y1=﹣x2﹣2x+3=﹣(x+1)2+4,

則當(dāng)x≤﹣1時(shí),yx增大而增大.

②若C(0,﹣3),即c=﹣3,

C(0,﹣3)代入y2=﹣3x+t,則0+t=﹣3,即t=﹣3,

y2=﹣3x﹣3,

A(x1,0),代入y2=﹣3x﹣3,

則﹣3x1﹣3=0,

x1=﹣1,

A(﹣1,0),

x1,x2異號(hào),x1=﹣1<0,x2>0

|x1|+|x2|=4,

1+x2=4,

解得:x2=3,則B(3,0),

代入y1=ax2+bx+3得,,

解得:,

y1=x2﹣2x﹣3=(x﹣1)2﹣4,

則當(dāng)x≥1時(shí),yx增大而增大,

綜上所述,若c=3,當(dāng)yx增大而增大時(shí),x≤﹣1;

c=﹣3,當(dāng)yx增大而增大時(shí),x≥1;

(2)①若c=3,則y1=﹣x2﹣2x+3=﹣(x+1)2+4,y2=﹣3x+3,

y1向左平移n個(gè)單位后,則解析式為:y3=﹣(x+1+n)2+4,

則當(dāng)x≤﹣1﹣n時(shí),yx增大而增大,

y2向下平移n個(gè)單位后,則解析式為:y4=﹣3x+3﹣n,

要使平移后直線與P有公共點(diǎn),則當(dāng)x=﹣1﹣n,y3≥y4,

即﹣(﹣1﹣n+1+n)2+4≥﹣3(﹣1﹣n)+3﹣n,

解得:n≤﹣1,

n>0,n≤﹣1不符合條件,應(yīng)舍去;

②若c=﹣3,則y1=x2﹣2x﹣3=(x﹣1)2﹣4,y2=﹣3x﹣3,

y1向左平移n個(gè)單位后,則解析式為:y3=(x﹣1+n)2﹣4,

則當(dāng)x≥1﹣n時(shí),yx增大而增大,

y2向下平移n個(gè)單位后,則解析式為:y4=﹣3x﹣3﹣n,

要使平移后直線與P有公共點(diǎn),則當(dāng)x=1﹣n,y3≤y4,

即(1﹣n﹣1+n)2﹣4≤﹣3(1﹣n)﹣3﹣n,

解得:n≥1,

綜上所述:n≥1,

2n2﹣5n=2(n﹣2

∴當(dāng)n=時(shí),2n2﹣5n的最小值為:﹣

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