Question

如圖，△AOB中，∠A=∠B，以O(shè)為圓心的圓經(jīng)過AB的中點(diǎn)C，且分別交OA、OB于點(diǎn)E、F
（1）求證：AB是⊙O的切線；
（2）當(dāng)△AOB腰上的高等于底邊的一半，且AB=4

3

時(shí)，求劣弧ECF的長(zhǎng)及陰影部分的面積．

Answer 1

分析：（1）由OA=OB，AC=BC，即可推出OC⊥AB，即AB是⊙O的切線；
（2）根據(jù)三角函數(shù)公式及勾股定理求得∠A=30°，OC=2，又因?yàn)镺A=OB，從而得出∠AOB=120度．由弧長(zhǎng)公式可求得

ECF

的長(zhǎng)為

4

3

π．由三角形面積及扇形面積可求出陰影部分面積．

解答：解：（1）連接OC．
∵OA=OB，AC=BC，
∴OC⊥AB．
∴AB是⊙O的切線．

（2）過B點(diǎn)作BD⊥AO，交AO的延長(zhǎng)線于D點(diǎn)．
由題意有AB=2BD，AB=4

3

．
在Rt△ABD中，根據(jù)正弦定義 sinA=

BD

AB

=

1

2

，
∴∠A=30度．
在Rt△ACO中，AC=

1

2

AB=2

3

，∠A=30°，
則AO=2OC．
由勾股定理，求得OC=2．
∵OA=OB，且∠A=30°，
∴∠AOB=120度．
由弧長(zhǎng)公式可求得

ECF

的長(zhǎng)為

4

3

π．
S_陰影=S_△OAB-S_扇形0EF=4

3

×2÷2-π•2²•

1

3

=4

3

-

4

3

π．

點(diǎn)評(píng)：此題考查學(xué)生對(duì)切線的判定，弧長(zhǎng)公式，及解直角三角形的綜合運(yùn)用能力．