【題目】如圖,拋物線y=﹣x2+bx+c與x軸分別交于A(﹣1,0),B(5,0)兩點.
(1)求拋物線的解析式;
(2)在第二象限內(nèi)取一點C,作CD垂直X軸于點D,鏈接AC,且AD=5,CD=8,將Rt△ACD沿x軸向右平移m個單位,當(dāng)點C落在拋物線上時,求m的值;
(3)在(2)的條件下,當(dāng)點C第一次落在拋物線上記為點E,點P是拋物線對稱軸上一點.試探究:在拋物線上是否存在點Q,使以點B、E、P、Q為頂點的四邊形是平行四邊形?若存在,請出點Q的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
【答案】(1)拋物線解析式為y=﹣x2+4x+5;(2)m的值為7或9;(3)Q點的坐標(biāo)為(﹣2,﹣7)或(6,﹣7)或(4,5).
【解析】
試題分析:(1)由A、B的坐標(biāo),利用待定系數(shù)法可求得拋物線的解析式;
(2)由題意可求得C點坐標(biāo),設(shè)平移后的點C的對應(yīng)點為C′,則C′點的縱坐標(biāo)為8,代入拋物線解析式可求得C′點的坐標(biāo),則可求得平移的單位,可求得m的值;
(3)由(2)可求得E點坐標(biāo),連接BE交對稱軸于點M,過E作EF⊥x軸于點F,當(dāng)BE為平行四邊形的邊時,過Q作對稱軸的垂線,垂足為N,則可證得△PQN≌△EFB,可求得QN,即可求得Q到對稱軸的距離,則可求得Q點的橫坐標(biāo),代入拋物線解析式可求得Q點坐標(biāo);當(dāng)BE為對角線時,由B、E的坐標(biāo)可求得線段BE的中點坐標(biāo),設(shè)Q(x,y),由P點的橫坐標(biāo)則可求得Q點的橫坐標(biāo),代入拋物線解析式可求得Q點的坐標(biāo).
試題解析:(1)∵拋物線y=﹣x2+bx+c與x軸分別交于A(﹣1,0),B(5,0)兩點,
∴,解得,
∴拋物線解析式為y=﹣x2+4x+5;
(2)∵AD=5,且OA=1,
∴OD=6,且CD=8,
∴C(﹣6,8),
設(shè)平移后的點C的對應(yīng)點為C′,則C′點的縱坐標(biāo)為8,
代入拋物線解析式可得8=﹣x2+4x+5,解得x=1或x=3,
∴C′點的坐標(biāo)為(1,8)或(3,8),
∵C(﹣6,8),
∴當(dāng)點C落在拋物線上時,向右平移了7或9個單位,
∴m的值為7或9;
(3)∵y=﹣x2+4x+5=﹣(x﹣2)2+9,
∴拋物線對稱軸為x=2,
∴可設(shè)P(2,t),
由(2)可知E點坐標(biāo)為(1,8),
①當(dāng)BE為平行四邊形的邊時,連接BE交對稱軸于點M,過E作EF⊥x軸于點F,當(dāng)BE為平行四邊形的邊時,過Q作對稱軸的垂線,垂足為N,如圖,
則∠BEF=∠BMP=∠QPN,
在△PQN和△EFB中
∴△PQN≌△EFB(AAS),
∴NQ=BF=OB﹣OF=5﹣1=4,
設(shè)Q(x,y),則QN=|x﹣2|,
∴|x﹣2|=4,解得x=﹣2或x=6,
當(dāng)x=﹣2或x=6時,代入拋物線解析式可求得y=﹣7,
∴Q點坐標(biāo)為(﹣2,﹣7)或(6,﹣7);
②當(dāng)BE為對角線時,
∵B(5,0),E(1,8),
∴線段BE的中點坐標(biāo)為(3,4),則線段PQ的中點坐標(biāo)為(3,4),
設(shè)Q(x,y),且P(2,t),
∴x+2=3×2,解得x=4,把x=4代入拋物線解析式可求得y=5,
∴Q(4,5);
綜上可知Q點的坐標(biāo)為(﹣2,﹣7)或(6,﹣7)或(4,5).
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【題目】如圖,△ABC中,AC=BC=10 cm,AB=12 cm,點D是AB的中點,連結(jié)CD,動點P從點A出發(fā),沿A→C→B的路徑運動,到達點B時運動停止,速度為每秒2 cm,設(shè)運動時間為秒.
(1)求CD的長;
(2)當(dāng)為何值時,△ADP是直角三角形?
(3)直接寫出:當(dāng)為何值時,△ADP是等腰三角形?
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【題目】如圖,正方形ABCD中,點E、F分別在BC、CD上,△AEF是等邊三角形,連接AC交EF于G,下列結(jié)論:①BE=DF,②∠DAF=15°,③AC垂直平分EF,④BE+DF=EF,⑤ ,其中正確結(jié)論有( )個
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知:直線AB∥CD,點M,N分別在直線AB,CD上,點E為平面內(nèi)一點.
(1)如圖1,∠BME,∠E,∠END的數(shù)量關(guān)系為 (直接寫出答案);
(2)如圖2,∠BME=m°,EF平分∠MEN,NP平分∠END,EQ∥NP,求∠FEQ的度數(shù)(用用含m的式子表示)
(3)如圖3,點G為CD上一點,∠BMN=n·∠EMN,∠GEK=n·∠GEM,EH∥MN交AB于點H,探究∠GEK,∠BMN,∠GEH之間的數(shù)量關(guān)系(用含n的式子表示)
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【題目】如圖,已知拋物線與x軸交于A(﹣1,0)、B(4,0)兩點,與y軸交于點C(0,3).
(1)求拋物線的解析式;
(2)在x軸下方的拋物線上是否存在一點P,使△PAB的面積等于△ABC的面積?若存在,求出點P的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
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【題目】某校為了解全校學(xué)生上學(xué)期參加社區(qū)活動的情況,學(xué)校隨機調(diào)查了本校50名學(xué)生參加社區(qū)活動的次數(shù),并將調(diào)查所得的數(shù)據(jù)整理如下:
參加社區(qū)活動次數(shù)的頻數(shù)、頻率分布表
根據(jù)以上圖表信息,解答下列問題:
(1)表中a= ,b= ;
(2)請把頻數(shù)分布直方圖補充完整(畫圖后請標(biāo)注相應(yīng)的數(shù)據(jù));
(3)若該校共有1200名學(xué)生,請估計該校在上學(xué)期參加社區(qū)活動超過6次的學(xué)生有多少人?
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【題目】在一空曠場地上設(shè)計一落地為矩形ABCD的小屋,AB+BC=10m,拴住小狗的10m長的繩子一端固定在B點處,小狗在不能進入小屋內(nèi)的條件下活動,其可以活動的區(qū)域面積為S(m2).
(1)如圖1,若BC=4m,則S=_______m2.
(2)如圖2,現(xiàn)考慮在(1)中的矩形ABCD小屋的右側(cè)以CD為邊拓展一正△CDE區(qū)域,使之變成落地為五邊形ABCED的小屋,其他條件不變,則在BC的變化過程中,當(dāng)S取得最小值時,邊BC的長為________m.
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