【題目】已知:△ABC,BC>AC,動(dòng)點(diǎn)D△ABC的頂點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn),AD=BC,連接DC.過(guò)AB,DC的中點(diǎn)E,F作直線,直線EF與直線AD,BC分別相交于點(diǎn)M,N.

(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)到BC的延長(zhǎng)線上時(shí),點(diǎn)N恰好與點(diǎn)F重合,AC的中點(diǎn)H,連接HE,HF,根據(jù)三角形中位線定理和平行線的性質(zhì),可得∠AMF∠ENB有何數(shù)量關(guān)系?(不需證明).

(2)當(dāng)點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)到圖2或圖3中的位置時(shí),∠AMF∠ENB有何數(shù)量關(guān)系?請(qǐng)分別寫出猜想,并任選一種情況證明.

【答案】(1)∠AMF=∠ENB;(2)∠AMF=∠ENB,∠AMF+∠ENB=180°,證明見(jiàn)解析.

【解析】

(1) AC的中點(diǎn)H,連接HE、HF,當(dāng)點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)到圖2中的位置時(shí),由FDC的中點(diǎn),EAB的中點(diǎn),根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)得到FH∥AD,且FH=AD;HE∥BC,且HE=BC,得到∠HFE=∠AMF,∠HEF=∠ENB,HE=HF,則∠HEF=∠HFE,所以∠AMF=∠BNE;當(dāng)點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)到圖3中的位置時(shí),同理可證得∠AMF=∠BNE.

(2) 與(1)相同,都需要作出兩條輔助線,兩次運(yùn)用中位線定理解答.

(1)1:AMF=ENB.

(2)2:AMF=ENB;

3:AMF+ENB=180°.

當(dāng)點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)到圖2中的位置時(shí),

證明:如圖,AC的中點(diǎn)H,

連接HE,HF.

FDC的中點(diǎn),HAC的中點(diǎn),

HFAD,HF=AD,

∴∠AMF=HFE,

同理,HECB,HE=CB,∴∠ENB=HEF.

AD=BC,HF=HE,∴∠HEF=HFE,

∴∠ENB=AMF.

當(dāng)點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)到圖3中的位置時(shí),

用同樣的方法可證明∠HFE=∠AME,∠HEF=∠BNE,
而∠HFE=∠HEF,
∴∠AME=∠BNE,
而∠AMF+∠AME=180°,
∴∠AMF+∠BNE=180°.
故答案為:∠AMF=∠BNE或∠AMF+∠BNE=180°.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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2)當(dāng)AC=m,BC=nmn)時(shí),求線段DE的長(zhǎng)度;

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變式 等腰三角形ABC中,∠A=80°,求∠B的度數(shù).

(1)請(qǐng)你解答以上的變式題.

(2)解(1)后,小敏發(fā)現(xiàn),∠A的度數(shù)不同,得到∠B的度數(shù)的個(gè)數(shù)也可能不同,如果在等腰三角形ABC中,設(shè)∠A=x°,當(dāng)∠B有三個(gè)不同的度數(shù)時(shí),請(qǐng)你探索x的取值范圍.

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請(qǐng)你根據(jù)以上統(tǒng)計(jì)圖中的信息,解答下列問(wèn)題:

1)該班有學(xué)生多少人?

2)補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖;

3)七(1)班全體同學(xué)所捐獻(xiàn)圖書的中位數(shù)和眾數(shù)分別是多少?

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A. 6 B. 8 C. 10 D. 12

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1)求證:四邊形AMDN是平行四邊形;

2)填空:當(dāng)AM的值為 時(shí),四邊形AMDN是矩形;當(dāng)AM的值為 時(shí),四邊形AMDN是菱形。

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