Question

如圖，在菱形ABCD中，AB=2，∠DAB=60°，點(diǎn)E是AD邊的中點(diǎn)，點(diǎn)M是AB邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A重合），延長(zhǎng)ME交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)N，連接MD，AN．

（1）求證：四邊形AMDN是平行四邊形．
（2）當(dāng)AM的值為何值時(shí)，四邊形AMDN是矩形？請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

（1）見(jiàn)解析  （2）AM=1。理由見(jiàn)解析

試題分析：（1）根據(jù)菱形的性質(zhì)可得ND∥AM，從而可得∠NDE=∠MAE，∠DNE=∠AME，根據(jù)中點(diǎn)的定義求出DE=AE，然后利用“角角邊”證明△NDE和△MAE全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等得到ND=MA，然后利用一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形證明。
（2）根據(jù)矩形的性質(zhì)得到DM⊥AB，再求出∠ADM=30°，然后根據(jù)直角三角形30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半解答�！�
解：（1）證明：∵四邊形ABCD是菱形，∴ND∥AM。
∴∠NDE=∠MAE，∠DNE=∠AME。
∵點(diǎn)E是AD中點(diǎn)，∴DE=AE。
∵在△NDE和△MAE中，∠NDE=∠MAE，∠DNE=∠AME，DE=AE，
∴△NDE≌△MAE（AAS）�！郚D=MA。
∴四邊形AMDN是平行四邊形。
（2）AM=1。理由如下：
∵四邊形ABCD是菱形，∴AD=AB=2。
若平行四邊形AMDN是矩形，則DM⊥AB，即∠DMA=90°。
∵∠A=60°，∴∠ADM=30°。∴AM=AD=1。