【題目】如圖,半圓O的直徑AB=4,以長為2的弦PQ為直徑,向點(diǎn)O方向作半圓M,其中P點(diǎn)在弧AQ上且與A點(diǎn)重合,但Q點(diǎn)可與B點(diǎn)重合.

(1)弧AP的長與弧QB的長之和為定值l,請(qǐng)直接寫出l的值;

(2)請(qǐng)直接寫出點(diǎn)M與AB的最大距離,此時(shí)點(diǎn)P,A間的距離;點(diǎn)M與AB的最小距離,此時(shí)半圓M的弧與AB所圍成的封閉圖形面積.

(3)當(dāng)半圓M與AB相切時(shí),求弧AP的長.

(注:結(jié)果保留π,cos 35°=,cos 55°=

【答案】(1);(2),2, , ;(3)弧AP的長為

【解析】試題分析:1)半圓O的長度是固定不變的,由于PQ也是定值,所以的長度也是固定值,所以的長之和為定值;

2)過點(diǎn)MMCAB于點(diǎn)C,當(dāng)CO重合時(shí),MAB的距離最大,此時(shí),∠AOP=60°,AP=2;當(dāng)QB重合時(shí),MAB的距離最小,此時(shí)圍成的封閉圖形面積可以用扇形DMB的面積減去△DMB的面積即可;

3)當(dāng)半圓MAB相切時(shí),此時(shí)MC=1,且分以下兩種情況討論,當(dāng)C在線段OA上;當(dāng)C在線段OB上,然后分別計(jì)出的長.

試題解析:

(1)如圖1,連接OPOQ,

AB=4,

OP=OQ=2,

PQ=2,

∴△OPQ是等邊三角形,

∴∠POQ=60°,

,

又∵半圓O的長為: π×4=2π

=2π ,

;

2)如圖2,過點(diǎn)MMCAB于點(diǎn)C,連接OM,

OP=2,PM=1,

∴由勾股定理可知:OM=,

當(dāng)CO重合時(shí),

MAB的距離最大,最大值為

連接AP,

此時(shí),OMAB,

∴∠AOP=60,

OA=OP,

∴△AOP是等邊三角形,

AP=2,

如圖3,當(dāng)QB重合時(shí),連接DM

∵∠MOQ=30°,

MC=OM=,

此時(shí),MAB的距離最小,最小值為

設(shè)此時(shí)半圓MAB交于點(diǎn)D,

DM=MB=1,

∵∠ABP=60°

∴△DMB是等邊三角形,

∴∠DMB=60°,

∴扇形DMB的面積為: ,

DMB的面積為: MCDB=,

∴半圓M的弧與AB所圍成的封閉圖形面積為: ;

3當(dāng)半圓MAB相切時(shí),

此時(shí),MC=1,

如圖4,當(dāng)點(diǎn)C在線段OA上時(shí),

RtOCM中,

由勾股定理可求得:OC=,

cosAOM=

∴∠AOM=35°,

∵∠POM=30°

∴∠AOP=AOMPOM=5°,

當(dāng)點(diǎn)C在線段OB上時(shí),

此時(shí),BOM=35°,

∵∠POM=30°

∴∠AOP=180POMBOM=115°

,

綜上,弧AP的長為

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5640 6430 6520 6798 7325

8430 8215 7453 7446 6754

7638 6834 7326 6830 8648

8753 9450 9865 7290 7850

對(duì)這20個(gè)數(shù)據(jù)按組距1000進(jìn)行分組,并統(tǒng)計(jì)整理,繪制了如下尚不完整的統(tǒng)計(jì)圖表:

步數(shù)分組統(tǒng)計(jì)表

組別

步數(shù)分組

頻數(shù)

A

5500≤x6500

2

B

6500≤x7500

10

C

7500≤x8500

m

D

8500≤x9500

3

E

9500≤x10500

n

請(qǐng)根據(jù)以上信息解答下列問題:

1)求mn的值;

2)補(bǔ)全頻數(shù)分布直方圖;

3)這20健步走運(yùn)動(dòng)團(tuán)隊(duì)成員一天行走步數(shù)的中位數(shù)落在哪一組?

4)若該團(tuán)隊(duì)共有120人,請(qǐng)估計(jì)其中一天行走步數(shù)不少于7500步的人數(shù).

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