Question

如圖，直角梯形OABC中，AB∥OC，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A在y軸正半軸上，點(diǎn)C在x軸正半軸上，點(diǎn)B坐標(biāo)為（2，），∠BCO=60°，OH⊥BC于點(diǎn)H．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)H出發(fā)，沿線段HO向點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)O出發(fā)，沿線段OA向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，速度都為每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度．設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒．

（1）求OH的長(zhǎng)；
（2）若△OPQ的面積為S（平方單位）．求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式．并求t為何值時(shí)，△OPQ的面積最大，最大值是多少；
（3）設(shè)PQ與OB交于點(diǎn)M．①當(dāng)△OPM為等腰三角形時(shí)，求（2）中S的值． ②探究線段OM長(zhǎng)度的最大值是多少，直接寫出結(jié)論．

Answer 1

2；；

試題分析：（1）∵AB∥OC
∴∠OAB=∠AOC=90°
在Rt△OAB中，AB=2，AO=2 
∴OB=4，∠ABO=60°
∴∠BOC=60°而∠BCO=60°
∴△BOC為等邊三角形

∴OH=OBcos30°=4×=2；      2分
（2）∵OP="OH-PH=2" -t
∴Xp="OPcos30°=3-" t   Yp="OPsin30°=" -
∴S= •OQ•Xp= •t•（3- t）
=（o＜t＜2）
當(dāng)t=時(shí)，S最大= ；            5分
（3）①若△OPM為等腰三角形，則：
（i）若OM=PM，∠MPO=∠MOP=∠POC
∴PQ∥OC
∴OQ=yp即t= -
解得：t= 
此時(shí)S=
（ii）若OP=OM，∠OPM=∠OMP=75°∴∠OQP=45°
過P點(diǎn)作PE⊥OA，垂足為E，則有：EQ=EP
即t-（ - t）="3-" t
解得：t=2
此時(shí)S= 
（iii）若OP=PM，∠POM=∠PMO=∠AOB∴PQ∥OA
此時(shí)Q在AB上，不滿足題意．       10分
②線段PM長(zhǎng)的最大值為 ．          12分
點(diǎn)評(píng)：此題將用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、動(dòng)點(diǎn)問題和最小值問題相結(jié)合，有較大的思維