Question

已知拋物線y=x²+bx+c與直線y=x+1有兩個(gè)交點(diǎn)A、B．
（1）當(dāng)AB的中點(diǎn)落在y軸時(shí)，求c的取值范圍；
（2）當(dāng)AB=2

2

，求c的最小值，并寫出c取最小值時(shí)拋物線的解析式；
（3）設(shè)點(diǎn)P（t，T）在AB之間的一段拋物線上運(yùn)動(dòng)，S（t）表示△PAB的面積．
①當(dāng)AB=2

2

，且拋物線與直線的一個(gè)交點(diǎn)在y軸時(shí)，求S（t）的最大值，以及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；
②當(dāng)AB=m（正常數(shù)）時(shí)，S（t）是否仍有最大值，若存在，求出S（t）的最大值以及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)（t，T）滿足的關(guān)系，若不存在說明理由．

Answer 1

分析：（1）若AB的中點(diǎn)落在y軸上，那么A、B的橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，即兩個(gè)橫坐標(biāo)的和為0；可聯(lián)立兩個(gè)函數(shù)的解析式，那么A、B的橫坐標(biāo)即為所得方程的兩根，根據(jù)方程有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根及兩根的和為0即可求出c的取值范圍；
（2）由于直線AB的斜率為1，當(dāng)AB=2

2

時(shí)，A、B兩點(diǎn)橫坐標(biāo)差的絕對(duì)值為2；聯(lián)立兩個(gè)函數(shù)的解析式，可得到關(guān)于x的方程，那么A、B的橫坐標(biāo)就是方程的兩個(gè)根，可用韋達(dá)定理表示出兩根差的絕對(duì)值，進(jìn)而求出b、c的關(guān)系式，即可得到c的最小值以及對(duì)應(yīng)的b的值，由此可確定拋物線的解析式；
（3）①在（2）中已經(jīng)求得了b、c的關(guān)系式，若拋物線與直線的一個(gè)交點(diǎn)在y軸，那么c=1，可據(jù)此求出b的值；進(jìn)而可確定拋物線的解析式，過P作PQ∥y軸，交AB于Q，可根據(jù)拋物線和直線AB的解析式表示出P、Q的縱坐標(biāo)，進(jìn)而可求出PQ的表達(dá)式，以PQ為底，A、B橫坐標(biāo)的差的絕對(duì)值為高即可求出△PAB的面積，進(jìn)而可得出關(guān)于S（t）和t的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)即可求出△PAB的最大面積及對(duì)應(yīng)的P點(diǎn)坐標(biāo)；
②結(jié)合（2）以及（3）①的方法求解即可．

解答：解：（1）由x²+bx+c=x+1，得x²+（b-1）x+c-1=0①．
設(shè)交點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂） （x₁＜x₂）．
∵AB的中點(diǎn)落在y軸，
∴A，B兩點(diǎn)到y(tǒng)軸的距離相等，即A，B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，
∴x₁+x₂=0，
故

b-1=0 △=(b-1)2-4(c-1)＞0

∴c＜1；（3分）

（2）∵AB=2

2

，如圖，過A作x軸的平行線，過B作y軸的平行線，它們交于G點(diǎn)，
∵直線y=x+1與x軸的夾角為45°，
∴△ABG為等腰直角三角形，
而AB=2

2

，
AG=

2 2

2

=2，
即|x₁-x₂|=2，
∴（x₁+x₂）²-4x₁x₂=4，
由（1）可知x₁+x₂=-（b-1），x₁x₂=c-1．
代入上式得：（b-1）²-4（c-1）=4，
∴c=

1

4

(b-1)2≥0∴c的最小值為0；此時(shí)，b=1，c=0，拋物線為y=x2+x；

（3）①∵AB=2

2

由(2)知c=

1

4

(b-1)2成立．
又∵拋物線與直線的交點(diǎn)在y軸時(shí)，交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為0，
把x=0代入①，得c-1=0，∴c=1．
∴這一交點(diǎn)為（0，1）；
∴

1

4

(b-1)2=1∴b=-1或3；
當(dāng)b=-1時(shí)，y=x²-x+1，過P作PQ∥y軸交直線AB于Q，則有：
P（t，t²-t+1），Q（t，t+1）；
∴PQ=t+1-（t²-t+1）=-t²+2t；
∴S（t）=

1

2

PQ×

2

2

AB=-t²+2t=-（t-1）²+1；
當(dāng)t=1時(shí)，S（t）有最大值，且S（t）_最大=1，此時(shí)P（1，1）；
當(dāng)b=3時(shí)，y=x²+3x+1，同上可求得：
S（t）=

1

2

PQ×

2

2

AB=-t²-2t=-（t+1）²+1；
當(dāng)t=-1時(shí)，S（t）有最大值，且S（t）_最大=1，此時(shí)P（-1，-1）；
故當(dāng)P點(diǎn)坐標(biāo)為（1，1）或（-1，-1）時(shí)，S（t）最大，且最大值為1；
②同（2）可得：（b-1）²-4（c-1）=m²，
由題意知：c=1，則有：
（b-1）²=m²，即b=1±m(xù)；
當(dāng)b=1+m時(shí)，y=x²+（1+m）x+1，
∴P（t，t²+（1+m）t+1），Q（t，t+1）；
∴PQ=t+1-[t²+（1+m）t+1]=-t²-mt；
∴S（t）=

1

2

PQ×

2

2

AB=

1

2

（-t²-mt）×

2

2

m=-

2

4

m（t+

m

2

）²+

2

16

m³；
∴當(dāng)t=-

m

2

時(shí)，S（t）_最大=

2

16

m³，
此時(shí)P（-

1

2

m，-

m2

4

-

m

2

+1）；
當(dāng)b=1-m時(shí)，y=x²+（1-m）x+1，同上可求得：
S（t）=-

2

4

m（t-

m

2

）²+

2

16

m³；
∴當(dāng)t=

1

2

m時(shí)，S（t）_最大=

2

16

m³，
此時(shí)P（

1

2

m，

3

4

m2+

1

2

m+1）；
故當(dāng)P（-

1

2

m，-

m2

4

-

m

2

+1）或（

1

2

m，

3

4

m2+

1

2

m+1）時(shí)，S（t）有最大值，且最大值為

2

16

m³．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系，根與系數(shù)的關(guān)系，根的判別式，函數(shù)圖象交點(diǎn)及圖形面積的求法等知識(shí)，綜合性強(qiáng)，難度較大．