【題目】如圖,拋物線y=ax2﹣4ax+3a(a>0),與y軸交于點A,在x軸的正半軸上取一點B,使OB=2OA,拋物線的對稱軸與拋物線交于點C,與x軸交于點D,與直線AB交于點E,連接BC.

(1)求點B,C的坐標(用含a的代數(shù)式表示);
(2)若△BCD與△BDE相似,求a的值;
(3)連接OE,記△OBE的外心為M,點M到直線AB的距離記為h,請?zhí)骄縣的值是否會隨著a的變化而變化?如果變化,請寫出h的取值范圍;如果不變,請求出h的值.

【答案】
(1)

解:由拋物線的解析式可知:點C的坐標為(2,﹣a),

令x=0代入y=ax2﹣4ax+3a,

∴y=3a,

∴OA=3a,

∵OB=2OA=6a,

∴點B的坐標為(6a,0)


(2)

解:由(1)可知:OD=2,CD=a,OB=6a,

若點B在點D的右側時,如圖1,

則6a>2,

∴a>

∴BD=6a﹣2,

當∠DBC=∠EBD時,

∴tan∠DBC=tan∠EBD= = ,

,

=

∴a= ,

當∠DCB=∠EBD時,

∴tan∠DCB=tan∠EBD= ,

,

,

∴a=

若點B在點D的左側時,如圖2,

則0<6a<2,

∴0<a< ,

∴BD=2﹣6a,

當∠DBC=∠EBD時,

∴tan∠DBC=tan∠EBD= =

,

= ,

∴a= ,

當∠DCB=∠EBD時,

∴tan∠DCB=tan∠EBD= ,

,

= ,

∴a= ,

若點B與點D重合時,

則6a=2,

∴a= ,

此情況不存在△BCD與△BDE,

綜上所述,a的值為 、


(3)

解:由題意知:點M在OB和BE的垂直平分線上,

設OB和BE的垂直平分線交于點M,

其中OB的垂直平分線與OB交于點G,

BE的垂直平分線交OB于點H,交BE于點F

當點B在點D的右側時,如圖3,

∴6a>2,

∴a>

∴BD=6a﹣2,

∵tan∠EBD=

∴ED= BD=3a﹣1,

由勾股定理可求得:BE=3 a﹣ ,

∴BF= BE= ,

∴HF= BF= ,

∴由勾股定理可求得:BH=

∴HG=BG﹣BH= ,

∵∠GMH=∠EBD,

∴sin∠GMH=sin∠EBD= ,

∴MH= HG= ,

∴MF=MH+HF= ,

當點B在點D的左側時,如圖:

∴0<a<

∴BD=OD﹣OB=2﹣6a,

∵tan∠ABO=tan∠DBE= ,

∴DE= BD=1﹣3a,

∴由勾股定理可求得:BE= ﹣3 a,

∴BF= BE= ,

∴HF= BF= ,

由勾股定理求得:BH=

∵GB= OB=3a,

∴GH=GB+BH= ,

∵∠HBF+∠BHF=90°,

∠GMH+∠BHF=90°,

∴∠HBF=∠GMH,

∴sin∠HBF=sin∠GMH= ,

∴MH= GH=

∴MF=MH﹣HF= ,

當點B與點D重合時,

此時a= ,

此情況不符合題意,舍去

綜上所述,點M到直線AB的距離不會變化,始終為


【解析】(1)令x=0代入拋物線可得y=3a,即OA=3a,因為OB=2OA,所以B的坐標為(6a,0),點C時拋物線的頂點,利用頂點坐標公式即可求出C的坐標為(2,﹣a);(2)由于點B的位置不確定,所以分三種情況討論,一是點B在點D的左側,二是點B在點D的右側,三是點B與點D重合,其中第三種情況是不存在△BCD與△BDE;另外,△BCD與△BDE相似時,有兩種情況,一是∠DBC=∠EBD,二是∠DBE=∠DBC,利用相似三角形的性質即可求出a的值;(3)由于點B的位置不確定,所以分三種情況討論,一是點B在點D的左側,二是點B在點D的右側,三是點B與點D重合,其中第三種情況是不存在△OBE,由題意知:點M在OB和BE的垂直平分線上,設OB和BE的垂直平分線交于點M,其中OB的垂直平分線與OB交于點G,BE的垂直平分線交OB于點H,交BE于點F,利用相似三角形的性質求出MF的長度即可;

練習冊系列答案
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